§4.4. Эффективная масса электрона

Для свободного электрона E=ħ²k²/(2m) (см.4.5).

Продифференцировав это уравнение по k, получим:

(4.16).

где - скорость поступательного движения электрона. Отсюда

(4.17) В таком виде выражения для импульса и скорости поступательного движения электрона можно использовать и для электрона в периодическом поле.

Пусть на кристалл наложено внешнее электрическое поле, напряженностью ε, которое действует на электрон силой F= -eε, сообщая ему ускорение

(4.18)

За время dt F совершит работу А по перемещению электрона:

Эта работа идет на изменение энергии электрона на величину . Отсюда . Подставляя это выражение в (4.18), получим

. (4.19)

Уравнение (4.19) устанавливает связь между ускорением электрона и силой, действующей на него со стороны внешнего поля . Оно выражает, следовательно, второй закон Ньютона. Т.о., под действием этой силы электрон в периодическом поле кристалла движется в среднем так, как двигался бы под действием этой силы свободный электрон, если бы он обладал массой

. (4.20)

Масса m_эф называется свободной массой электрона. Приписывая электрону эту массу, можно считать электрон свободным.

Масса m_эф может быть как положительной, так и отрицательной. По абсолютному значению она может быть как во много раз больше, так и во много раз меньше массы покоя электрона m_п.

Для электрона, располагающегося у дна энергетической зоны, энергия Е_дно=Е_мин+А_Д(ka)² (см. (4.14)), вторая производная от нее по k равна d²E/dk²=2A_д∙а². Подставляя это в (4.20), получим

(4.21)

Так как Ад>0, то m_эф.дно>0 – электроны у дна энергетической зоны обладают положительной массой. Поэтому во внешнем поле кристалла они ведут себя нормально, ускоряясь в направлении внешней силы. Чем шире разрешенная зона, тем меньше эффективная масса электронов у дна этой зоны.

Для электронов, находящихся у вершины зоны, энергия Е_верх=Е_макс-А_Д(ka)² (см. (4.15)), вторая производная от нее по k равна d²E/dk²= -2A_Да². Эффективная масса:

(4.22)

Она является отрицательной. Поэтому во внешнем поле кристалла они ведут себя аномально, ускоряясь в направлении, противоположном действующей силе. Чем шире разрешенная зона, тем меньше эффективная масса электронов m_{эф.верх}.

Это происходит потому, что электрон в кристалле обладает не только кинетической, но и потенциальной энергией. При движении под действием внешней силы F часть работы этой силы может перейти в кинетическую энергию, другая часть – в потенциальную энергию U (А = Е_к +U). В этом случае кинетическая энергия, а следовательно и скорость электрона, будут возрастать медленнее, чем у свободного электрона. Электрон становится как бы тяжелее.

Если вся работа будет переходить в потенциальную энергию, то приращение Е_к и скорости электрона не будет, то есть электрон можно представить как частицу с бесконечно большой эффективной массой..

Если при движении электрона в U будет переходить не только вся работа внешней силы, но и часть Е_к, так что U =А + Е_к, то скорость такого электрона будет уменьшаться, он будет вести себя как частица с отрицательной эффективной массой.

В кристалле может реализоваться случай, когда под действием внешней силы F в Е_к переходит не только вся работа внешней силы, но и часть потенциальной энергии электрона, так что Е_к = А +U. у такого электрона Е_к и скорость будут расти быстрее, чем у свободного электрона. Он становится легче свободного.

На рисунке 4.8 показан характер изменения полной энергии электрона Е(k), скорости его поступательного движения v(k) и эффективной массы m_эф с возрастанием волнового вектора k в пределах от 0 до /а.

Рисунок 4.8

У дна зоны (вблизи k=0), пока с увеличением k энергия электрона растет пропорционально k², скорость поступательного движения электрона v dE/dk увеличивается пропорционально k , ускорение положительно и эффективная масса m_ЭФ  сохраняет постоянное положительное значение.

В точке А перегиба E(k) вторая производная d²E/dk²=0, а первая производная dE/dk достигает максимума. Поэтому при приближении к этой точке m_эф  , а vv_max.

За точкой перегиба dE/dk начинает убывать, поэтому убывает v, следовательно ускорение отрицательно, что эквивалентно изменению знака m_эф с положительного значения на отрицательное. При этом может измениться и абсолютная величина m_ЭФ  , если меняется кривизна кривой Е(k) , пропорциональная d²E/dk². У вершины зоны Е(k) снова становится квадратичной функцией от k и m_ЭФ достигает постоянного отрицательного значения .

Исходя из изложенного, можно сделать следующие выводы.

Кристаллическое периодическое поле не меняет радикально картину движения электрона по сравнению с вакуумом, а изменяет лишь эффективную массу электрона.

     Эффективная масса электрона значительно отличается от массы электрона и имеет различные значения для разных волновых векторов электрона. При малых значениях модуля k ее значение, задаваемое второй производной функции E(k), оказывается положительным, а при k близких к границе зоны Бриллюэна - отрицательным. В последнем случае получается, что внешняя сила не ускоряет, а тормозит электрон. Парадокса здесь нет, поскольку торможение связано с влиянием периодического поля кристалла на движение электрона. Такие электроны ведут себя во внешних электромагнитных полях как частицы с отрицательной массой или как положительно заряженные частицы. Такую частицу можно считать обладающей либо отрицательной массой, либо зарядом противоположного знака, что эквивалентно, поскольку ускорение частицы под действием внешнего электромагнитного поля меняет свой знак как при изменении знака массы, так и изменении знака заряда. Такие положительно заряженные частицы принято называть дырками; движение дырок будет рассмотрено в разделе, посвященном полупроводникам.

     Точке перегиба на рис. 4.8 соответствует согласно (4.20) бесконечно (или же очень) большая эффективная масса. Такой электрон практически не меняет своей скорости под влиянием внешней силы.

     Для большей части электронов эффективная масса как правило положительна. В частности, она положительна у всех электронов, если зона заполнена наполовину или менее. Отрицательной эффективной массой обладают лишь электроны в состояниях вблизи границы первой Зоны Бриллюэна.

§4.4. Заполнение зон электронами

Заполнение энергетических зон начинается с нижних энергетических уровней с соблюдением принципа Паули. В каждой энергетической зоне содержится ограниченное количество уровней. При этом в s-зоне могут находиться лишь два электрона на атом, в р-зоне – шесть, в d-зоне десять и т.д.

По характеру заполнения зон твердые тела делятся на две группы.

К первой группе относятся тела, у которых над полностью заполненными зонами находится частично заполненная. Это происходит, если тела состоят из атомов, у которых последний атомный уровень заполнен частично (металлы) (Рис. 4.9 а). Возможно также наложение заполненных зон на пустые или частично заполненные (щелочноземельные элементы) (Рис. 4.9 б).

Рисунок 4.9

Ко второй группе относятся тела, у которых над целиком заполнен­ными зонами располагаются пустые зоны (рис. 4.9, в, г) (элементы IV группы табли­цы Менделеева — углерод в модификации алмаза, кремний, герма­ний и серое олово, имеющее структуру алмаза). К этой же группе тел относятся многие химические соединения — окислы металлов, нитри­ды, карбиды, галогениды щелочных металлов и т. д.

При воздействии внешнего поля на каждый электрон действует сила, которая стремится нарушить сим­метрию в распределении электронов по скоростям, пытаясь затор­мозить электроны, движущиеся против силы, и ускорить электро­ны, движущиеся в направлении действия силы. Это связано с изменением энергии электрона, т.е. переходом электрона в новые квантовые состояния с большей или меньшей энергией. Такие переходы могут осу­ществляться в том случае, если зона укомплектована не полностью. В этом случае уже слабое электрическое поле способно сообщить электронам доста­точный добавочный импульс, чтобы перевести их на близлежащие свободные уровни. В теле появится преимущественное движение элек­тронов против поля, обуславливающее возникновение электрическо­го тока. Такие тела являются хорошими проводниками.

Пусть валентная зона кристалла заполнена це­ликом и отделена от близлежащей свободной зоны широкой энергети­ческой щелью Е_g (рис. 4.9, в). Внешнее поле не может изменить характер движения электронов в валентной зоне. Внутри валентной зоны, не содержа­щей ни одного свободного уровня, оно может вызывать лишь переста­новку электронов местами. Т.е. в таких телах внешнее поле не способно привести к появлению направленного движения электро­нов (тока). Таким образом, отсутствие частично заполненных зон в энергетическом спектре твердых тел де­лает их непроводниками, несмотря на наличие в них свободных элек­тронов, способных двигаться по всему кристаллу.

По ширине запрещенной зоны тела второй группы условно делят на диэлектрики и полупроводники. К диэлектрикам относят тела, имеющие относительно широкую запрещенную зону. У типичных ди­электриков E_g >> 3 эВ. Так, у алмаза E_g = 5,2 эВ; у нитрида бора Е_g = 4,6 эВ; у А1₂Оз Е_g = 7 эВ и т. д.

К полупроводникам относят тела, имеющие сравнительно узкую запрещенную зону (рис. 4.9, г). У типичных полупроводников Е_g < 1 эВ. Так, у германия Е_g = 0,65 эВ; у кремния Е_g = 1,08 эВ; у антимонида индия E_g = 0,17 эВ; у арсенида галлия Е_g = 1,43 эВ .

Рассмотрим более подробно эту группу тел.