4. Свойства сумм линейных напряжений и линейных токов.

В трехфазной системе, соединенной звездой или треугольником, в любой момент времени мгновенные значения линейных напряжений равны разности потенциалов соответствующих проводов в этот же момент времени. Поэтому для схемы

и_АВ = φ_А – φ_В; и_ВС = φ_В - φ_С ; и_СА = φ_С - φ_А,

где, φ – потенциал соответствующего провода.

Сумма линейных напряжений

и_АВ + и_ВС + и_СА = φ_А - φ_В + φ_В - φ_С + φ_С - φ_А = 0,

то есть алгебраическая сумма мгновенных значений линейных напряжений равна нулю. Если оперировать действующими значениями, то сумма должна быть геометрической

Ū_АВ + Ū_ВС + Ū_СА = 0,

или

Ů_АВ + Ū_ВС + Ū_СА = 0.

Из этих формул следует, что, если линейные напряжения заданы векторами, они обязательно образуют замкнутый треугольник,

так как замыкающая, проведенная из начала первого вектора до конца последнего, представляет собой сумму этих векторов, а в данном случае эта сумма равна нулю, а значит, равна нулю и замыкающая. Следовательно, конец последнего вектора обязательно попадает в начало первого.

Это свойство используется при анализе явлений в цепях. Кроме того, имея в виду это свойство, можно с помощью трех вольтметров, измеряющих линейные напряжения, определить углы сдвига фаз между ними.

Для этого, задавшись удобным масштабом, по показаниям приборов, как по трем сторонам, строим замкнутый треугольник.

Внешние углы его а и будут углами сдвига фаз между линейными напряжениями. Для большей наглядности после построения треугольника векторы можно перенести параллельно самим себе, так, чтобы они оказались проведенными из одной точки.

Если нагрузка соединена звездой,

то на основании первого правила Кирхгофа, для узла О

ĺ_фА + ĺ_фВ +ĺ_фС = 0,

поэтому

ĺ_А + ĺ_В + ĺ_С = 0,

Ī_А + Ī_В + Ī_С = 0.

При нагрузке, соединенной треугольником,

для узлов А, В и С по первому правилу Кирхгофа,

ĺ_А = ĺ_АВ - ĺ_СА

+ ĺ_В = ĺ_ВС - ĺ_АВ

ĺ_С = ĺ_СА - ĺ_ВС

∑ ĺ_л = ĺ_АВ – ĺ_СА + ĺ_ВС - ĺ_АВ + ĺ_СА – ĺ_ВС = 0,

_{_____}∑ ĺ_л = 0_{__}и_{___}∑Ī_л = 0.

Таким образом, в трехпроводной системе как при соединении звездой, так и при соединении треугольником геометрическая сумма действующих значений линейных токов равна нулю. Это свойство линейных токов также имеет теоретическое и практическое значение. Например, только благодаря этому свойству трехфазный ток можно передавать по кабелю с металлической оболочкой, так как при близком расположении проводов в кабеле результирующее поле вокруг них очень слабое и в оболочке вихревые токи почти не наводятся.

Если трехжильный кабель, использовать как одножильный, соединив три жилы параллельно, то металлическую оболочку с кабеля придется снять, так как в этом случае _{_}∑ ĺ_л ≠ 0 и вокруг такой тройной жилы будет сильное магнитное поле, которое наведет в оболочке сильные вихревые токи и кабель перегреется.

5. Неравномерная нагрузка фаз.

Соединение звездой. При неравномерной нагрузке фаз, когда I_А ≠ I_В ≠ I_С , в нулевом проводе трехфазной системы, соединенной звездой, течет уравнительный ток I₀.

Но ток в участке цепи может течь лишь в том случае, когда на его концах есть разность потенциалов. Следовательно, при неравномерной нагрузке фаз между точками О и О′ возникает разность потенциалов (напряжение). Напряжение между нулевыми точками генераторов и нагрузки называют смещением нейтрали ( U₀ ). Из схемы

U₀ = I₀ z₀,

где z₀ – сопротивление нулевого провода.

Смещение нейтрали оказывает сильное влияние на работу нагрузки. По второму правилу Кирхгофа, для контура ОАА′О′О

Ė_А = Ů_А = Ů₀,

откуда

Ů_А = Ė_А - Ů₀.

Рассуждая совершенно аналогично для контуров ОВВ′О′О и ОСС′О′О, получим подобные выражения для Ů_В и Ů_С.

Ů _А = Ė_А - Ů₀;

Ů_В = Ė_В - Ů₀;

Ů_С = Ė_С - Ů_0.

Построим векторную диаграмму этих величин. Для этого отложим векторы фазных э. д. с., которые равны по величине и направлены под углом 120⁰ друг к другу, и вектор смещения нейтрали, который тоже имеет некоторые величину и направление.

Из формулы Ė_А = Ů_А = Ů₀ следует, что Ē_А можно получить, если к Ū₀ пристроить Ū_А, а из диаграммы видно, что для получения Ē_А к Ū₀ надо пристроить отрезок О′А. Следовательно, этот отрезок и будет выражать Ū_А. Рассуждая аналогично в отношении э. д. с. Е_В и Е_С, придем к выводу, что отрезок О′В изображает Ū_В, а отрезок О′С изображает Ū_С.

Из этой диаграммы видно, что напряжения на фазах оказываются неодинаковыми, наступает так называемый перекос фазных напряжений. Перекос фазных напряжений – явление весьма нежелательное, оно нарушает работу отдельных фаз. Из этой же диаграммы следует, что причиной перекоса является смещения нейтрали, и чем больше Ū₀, тем разница между фазными напряжениями больше, чем меньше Ū₀, тем фазные напряжения более симметричны, и если Ū₀ = 0, то точка О′ сольется с О и фазные напряжения станут совершенно одинаковы. Следовательно, при эксплуатации трехфазных систем надо стремиться к тому, чтобы смещение нейтрали было возможно меньше.

Из формулы U₀ = I₀ z₀ следует, что для уменьшения U₀ надо уменьшать либо I₀, либо z₀. Уменьшить уравнительный ток I₀ можно, выравнивая нагрузку фаз. Если это по каким-либо причинам невозможно, а смещение нейтрали слишком велико, то надо уменьшать сопротивление нулевого провода z₀, то есть увеличивать его сечение, железный провод заменять алюминиевым или медным.

Если потенциал нулевой точки генератора принять равным нулю и посчитать , что на диаграмме ей соответствует точка О, то любая другая точка на этой диаграмме будет соответствовать совершенно определенной точке цепи и отрезок, соединяющий две любые точки на диаграмме, будет определять по величине и фазе напряжения между соответствующими точками цепи.

Такая диаграмма, любая точка которой соответствует определенной точке цепи, называется топографической. На рисунке

точка О′ соответствует нулевой точке нагрузки, точки А, В и С – точкам А, В, и С цепи, отрезок ОО′ отображает смещение нейтрали, отрезки АВ, ВС и СА – линейные напряжения U_АВ, U_ВС, U_СА и т.д.

Расчет трехфазной системы, соединенной звездой. Под расчетом трехфазной системы подразумевают определение фазных и линейных токов, фазных напряжений, потребляемой мощности, коэффициента мощности, а при необходимости и ряда других величин.

При этом заданными обычно являются фазные э. д. с. источника тока, его внутреннее сопротивление, сопротивления проводов и фаз нагрузки.

Трехфазная система, соединенная звездой, представляет собой цепь с двумя узловыми точками. Следовательно, трехфазную систему, соединенную звездой, можно рассчитывать методом узлового напряжения, только оперировать следует не абсолютными значениями величин, а их комплексными выражениями.

Попытка определить фазные токи ( а следовательно, и линейные ) по формуле

I_Ф = U_Ф

z

приведет к неверным результатам, так как при неравномерной нагрузке фаз фазные напряжения неодинаковы и нам не известны. Порядок расчета лучше всего проследить на примере.

Пример. Определить линейные токи и напряжения на фазах нагрузки, которая питается от трехфазного генератора, с фазными э. д. с. Е_Ф = 220 в и внутренним сопротивлением Х_Lо = 1 ом, если сопротивления фазных проводов чисто активные, R_пр = 2 ом, сопротивление нулевого провода Z_о = ( 1+ j2 ) Ом, а сопротивление фаз нагрузки выражается комплексами:

Z_А = ( 3 + j4 ) ом, Z_В = ( 6 + j5 ) ом, Z_С = ( 5 + j6 ) Ом

Решение. Выразим фазные э. д. с. в комплексной форме. Направим Ē_А по действительной оси, тогда

Ė_А = 220 в, Ė_В = 220_е^-j120о = 220 ( - 0,5 – j0,87 ) = ( - 110 – j192 ) в,

Ė_С = 220е^120о = 220 ( - 0,5 + j0,87 ) = ( - 110 + j192 ) в.

«Внесем» внутренние сопротивления фаз генератора и сопротивления фазных проводов в нагрузку. Сопротивление и проводимость фазы нагрузки с «внесенными» туда сопротивлениями обозначим знаком штрих.

Z′_А = Z_А + jХ_Lо + R_пр = 3 + j4 + j1 + 2 = ( 5 + j5 ) ом;

Z′_В = Z_В + jХ_Lо + R_пр = 6 + j5 + j1 + 2 = ( 8 + j6 ) ом;

Z′_С = Z_С + jХ_Lо + R_пр = 5 + j6 + j1 + 2 = ( 7 + j7 ) ом.

Определим проводимость ветвей:

Y′_А = _1_ = _1__ = ( 0,1 – j0,1 ) сим;

Z′_А 5 + j5

Y′_В = _1_ = _1__ = ( 0,08 – j0,06 ) сим;

Z′_В 8 + j6

Y′_С = _1_ = _1__ = ( 0,07 – j0,07 ) сим;

Z′_С 7 + j7

Y′₀ = _1_ = _1__ = ( 0,2 – j0,4 ) сим.

Z₀ 1+ j2

Определяем смещение нейтрали (узловое напряжение):

Ů₀ = Ė_АY′_А_+_ Ė_ВY′_В_+ Ė_СY′_С =

Y′_А + Y′_В + Y′_А + Y₀

= 220 ( 0,1 – j0,1 ) + ( - 110 – j192 ) ∙ (0,08 – j0,06 ) + ( - 110 + j192 ) ∙ ( 0,07 – j0,07 ) =

0,1 - j0,1 + 0,08 – j0,06 + 0,07 – j0,07 + 0,2 – j0,4

= 15,7 + j0,6 ≈ 15,7 в.

Находим токи в ветвях (линейные токи):

İ_А = (Ė_А - Ů₀ ) Y′ _А = ( 220 – 15,7) ( 0,1 – j0,1 ) = ( 20, 43 – j20,43 ) а;

İ_В = (Ė_В – Ů₀ ) Y′ _В = ( - 110 – j192 – 15,7) ( 0,08 – j0,06 ) = (- 21,5 – j7,8 ) а;

İ_С = (Ė_С – Ů₀ ) Y′ _С = ( - 110 – j192 – 15,7) ( 0,07 – j0,07 ) = (- 21,13 + j4,67 ) а,

то есть

I_А = √ 20,43² + 20,43² = 28,6 а ; I_В = √21,5² + 7,8² = 22,9; I_С = √22,13² + 4,67² = 22,6 а

Определяем напряжение на фазах:

Ů_А = İ_АZ_А = (20,43 – j20,43) ( 3+ j4) = ( 143 + 20,4 ) в;

Ů_В = İ_ВZ_В = ( - 21,5 – j7,8 ) ( 6 + j5 ) = ( -89,8 – j154,3 ) в;

Ů_С = İ_СZ_С = ( - 22,13 – j4,67 ) ( 5 + j6 ) = ( -139,2 – j109,5) в,

или

U_А = √143² + 20,41² ≈ 144 в; U_В = √89,8² + 154,3² = 178 в; U_С = √139,2² + 109,5² = 177в

По полученным данным можно найти все остальные величины (мощности, линейные напряжения на нагрузке, падение напряжения в линии и т.п.).

Нагрузку, работающую без нулевого провода, рассчитываю так же, но в знаменателе уравнения U₀ отсутствует слагаемое Y₀ (Y₀ = 0):

Ů₀ = Ė_А Y′ _А + Ė_В Y′ _В + Ė_С Y′ _С

Y′ _А + Y′ _В + Y′ _С

Часто приходится определять линейные токи и другие параметры нагрузки, когда заданы сопротивления ее фаз и линейное напряжение в сети, к которой подсоединена нагрузка. При этом сопротивления проводов могут быть заданы, а могут быть неизвестны. В этом случае заданное линейное напряжение считают линейным напряжением воображаемого генератора, соединенного звездой, с внутренним сопротивлением, равным нулю,

и расчет опять ведут по методу узлового напряжения. При этом в качестве фазных э.д.с. используют фазные напряжения, подсчитанные по заданному линейному.

Пример. Три активных сопротивления R_А, R_В,, R_С соединены звездой без нулевого провода и подсоединены к щиту, линейное напряжение на зажимах А, В и С которого 380 в. Определить напряжения на фазах и линейные токи этой нагрузки, если R_А = 20 ом; R_В = 20 ом; R_С = 5 ом.

Решение. Считаем зажимы А, В и С зажимами генератора, соединенного звездой,

тогда Е_А = Е_В = Е_С = 380 = 220 в

√3

Ė_А = 220 в, Ė_В = 220е^-j120о = ( -110 – j192 ) в; Ė_С = 220е^-j120о = (-110 – j192 ) в

Так как нагрузка чисто активная, то

Z_А = R_А + j0 = 20 + j0 = 20 ом, Z_В = 10 ом, Z_С = 5 ом.

Сопротивление подводящих проводов не заданы, значит, ими можно пренебречь, внутреннего сопротивления у воображаемого генератора нет, поэтому

Y_А = _1_ = _1_ = 0,05 сим; Y_В = _1_ = _1_ = 0,1 сим; Y_С = _1_ = _1_ = 0,2 сим

Z_А 20 Z_В 10 Z_С 5

Так как нагрузка работает без нулевого провода, то Z₀ = ∞ и Y₀ = 0.

Тогда

Ů₀ = Ė_А Y_А + Ė_В Y_В + Ė_С Y_С =

Y_А + Y_В + Y_С

= 220 ∙ 0,05 + ( - 110 - j192 ) 0,1 + ( - 110 + j192 ) 0,2 = (-62,8 + j54,8) в.

0,05 + 0,1 + 0,2

Линейные токи

İ_А = (Ė_А - Ů₀ ) Y_А = ( 220 + 62,8 - j54,8) 0,05 = ( 14,1 – j2,74) а;

İ_В = (Ė_В - Ů₀ ) Y_В = (- 110 - j192 + 62,8 - j54,8) 0,1 = (- 4,72 - j24,68 ) а;

İ_С = (Ė_С - Ů₀ ) Y_С = (- 110 - j192 + 62,8 - j54,8) 0,1 = (- 4,72 + j27,4 ) а;

или

İ_А = √14,1² + 2,74² = 14,2 а; İ_В = √4,72² + 24,68² = 25,1 а; İ_С = √9,44² + 27,4² = 29 а.

Н а основании формулы,

Ů_А = Ė_А - Ů₀;

Ů_В = Ė_В - Ů₀;

Ů_С = Ė_С - Ů_0.

Ů_А = Ė_А - Ů₀ = 220 + 62,8 - j54,8 = ( 282,8 - j54,8 ) в;

Ů_В = Ė_В - Ů₀ = (-110 - j192 ) + 62,8 - j54,8 = (-47,2 – j246,8 ) в;

Ů_С = Ė_С - Ů₀ = (-110 + j192 ) + 62,8 - j54,8 = (-47,2 + j137,2 ) в,

или

U_А = √282,2² + 54,8² = 288 в; U_В = √47,2² + 246,8² = 252 в; U_С= √47² + 137,2² = 145 в.

Из этого примера видно, насколько велика роль смещения нейтрали и насколько несимметричными могут быть из-за этого фазные напряжения.

Все варианты симметричной нагрузки, соединенной звездой, можно рассчитывать тоже по методу узлового напряжения, но при симметричной нагрузке смещение нейтрали отсутствует (U₀ =0 ), поэтому все фазные напряжения равны друг другу и

І_л = І_ф = U_ф = U_{л___},

z √3 z

где z – сопротивление одной фазы нагрузки.

При этом если сопротивления фазных проводов и внутренние сопротивления генератора надо учитывать, то их надо «внести» в сопротивление фаз нагрузки и

І_л = U_{л___},

√3 z′

Соединение треугольником. При соединении неравномерной нагрузки треугольником

явлений, подобных смещению нейтрали и перекосу фазных напряжений, не наблюдается, но неравномерная нагрузка фаз вызывает неравенство линейных токов и неодинаково нагружает фазы генератора. Из-за этого падения напряжения в отдельных проводах и на внутренних сопротивлениях фаз генератора несколько отличаются друг от друга, поэтому и фазные напряжения оказываются неодинаковыми. Но это неравенство незначительно и при правильном выборе проводов оно настолько мало, что им пренебрегают и считают, что неравномерность нагрузки на фазных напряжениях не отражается.

Расчет нагрузки, соединенной треугольником. При этом следует рассмотреть два основных случая: а) сопротивлением подводящих проводов и внутренним сопротивлением генератора можно пренебречь; б) указанными сопротивлениями пренебрегать нельзя.

Когда сопротивлением фазных проводов и внутренним сопротивлением генератора можно пренебречь, напряжения на фазах нагрузки равны линейному напряжению генератора или сети, к которой эта нагрузка присоединяется, поэтому по заданному линейному напряжению и сопротивлению фаз нагрузки определяют фазные токи, а по ним и линейные токи как геометрические разности соответствующих фазных.

Пример. Определить линейные токи и активную мощность нагрузки, присоединенной к сети с линейным напряжением 380 в, если сопротивления ее фаз Z_АВ = ( 3 + j4 ) ом; Z_ВС = ( 16 + j12 ) ом; Z_СА = ( 7 + j7 ) ом.

Решение. Направим вектор линейного напряжения U_АВ по действительной оси, тогда Ů_АВ = 380 в;

Ů_АВ = 380 е^{- j120о} = 380 ( - 0,5 – j0,87 ) = ( - 190 – j331 ) в;

Ů_АВ = 380 е ^j120о = ( - 190 – j331 ) в.

Сопротивления фаз в показательной форме

Z_АВ = 3 + j4 ≈ 5е ^{j 53о} ом; Z_ВС ≈ 20е ^{j 37о} ом; Z_СА ≈ 10е ^{j 45о} ом.

Фазные токи

İ_АВ = Ů_АВ = 380 = 76е ^{- j 53о} = ( 45,7 – j60,9 ) а;

Z_АВ 5_е^{j 53о}

İ_ВС = Ů_ВС = 380е ^{– j120о} = 19е^{- j157о} = ( - 17,5 – j 7,4 ) а;

Z_ВС 20е ^{j 37о}

İ_СА = Ů_СА = 380е ^j120о = 38 е ^j75о = ( 9,81 + j36,3 ) а.

Z_ВС 10 е ^{j 45о}

Так как фазные токи неодинаковы, то линейные приходится находить, как разность соответствующих фазных:

İ_А = İ_АВ - İ_СА = 45, 7 – j60,9 – 9,81 – j36,3 = (35,89 – j97,2 ) а;

İ_В = İ_ВС - İ_АВ = - 17,5 – j7,4 – 45,7 + j60,9 = ( - 63,20 + j53,5 ) а;

İ_С = İ_СА – İ_ВС = 9,81 + j36,3 + 17,5 + j7,4 = ( 27,31 + j43,7 ) а.

или

І_А = √ 35,89² + 97,2² = 103,8 а; І_В = √ 63,30² + 53,5² = 82,8 а;

І_С = √ 27,31² + 43,7² = 51,6 а.

Фазные мощности:

Š_АВ = Ů_АВ Ĩ_АВ = 380 ( 45,7 + j60,9 ) = ( 17 400 + j23 150 ) ва;

Š_ВС = Ů_ВС Ĩ_ВС = ( - 190 + j7,4 ) = ( 5780 + j4390 ) ва;

Š_СА = Ů_СА Ĩ_СА = ( - 190 + j331 ) ( 9,81 – j36,3 ) = ( 10 180 + j10 145 ) ва.

Активная мощность всей цепи

Р = Р_АВ + Р_ВС + Р_СА = 17 400 + 5780 + 10 180 = 33 360 вт.

Если нагрузка симметрична, то фазные токи одинаковы, расчет значительно упрощается и его можно провести без использования комплексных чисел.

І_Ф = U_л ; І_л = І_Ф √ 3, а Р = √ 3 U_л І_л cos φ.

z

Если сопротивлениями подводящих проводов или внутренним сопротивлением фаз генератора пренебречь нельзя,

То сопротивления проводов Z_пр и внутреннее сопротивление фаз генератора (если оно задано) надо «внести» в фазы нагрузки, а для этого треугольник следует заменить эквивалентной звездой и «вносить» их уже в фазы звезды. Затем решать цепь так, как ее решают при соединении нагрузки звездой.

Пример. Определить линейные токи нагрузки, изображенной на рисунке, если она питается от сети с U_л = 380 в, причем

Ż_АВ = ( 7 + j7 ) ом, Ż_ВС = 10 ом; Ż_СА = 20 ом; Ż_пр = 2 ом.

Решение. Треугольник А΄В΄С΄ преобразуем в эквивалентную звезду

Z_А = __ Z_АВ Z_СА____ = _( 7 + j7 )· 20_ = ( 7 + j7 )· 20 = ( 4,73 + j3,35 ) ом;

Z_АВ + Z_ВС + Z_СА 7 + j7 + 10 + 20 37 + j7

Z_В = __ Z_АВ Z_ВС____ = _( 7 + j7 )· 10 = (2,365 + j1,675 ) ом;

37 + j7 37 + j7

Z_С = __ Z_СА Z_ВС____ = 20 · 10_ = ( 5,2 - j 0,982 ) ом.

37 + j7 37 + j7

Внесем сопротивления проводов в фазы звезды:

Z΄_А = Z_А + Z_пр = 4,73 + j3,35 + 2 = ( 6,73 + j3,35 ) ом;

Z΄_В = Z_В + Z_пр = 2,365 + j1,675 + 2 = ( 4,365 + j1,675 ) ом;

Z΄_С = Z_С + Z_пр = 5,2 – j0,982 + 2 = ( 7,2 – j0,982 ) ом.

Э. д. с. воображаемого генератора Е_Ф = 380 = 220 в

√ 3

Направим Ē_А по действительной оси, тогда Ė_А = 220 в. Ė_В = 220е ^{– j120о} =

= ( - 110 – j192 ) в; Ė_С = 220е ^j120о = ( - 110 + j192 ) в.

Проводимость ветвей:

Y΄_А = _1_ = ____1_____ = ( 0,119 - j0, 059 ) сим;

Z΄_А 6,73 + j3,35

Y΄_В = _1_ = ____1_______ = ( 0,2 - j0,0765 ) сим;

Z΄_В 4,365 + j1,675

Y΄_С = _1_ = ____1_______ = ( 0,1795 + j0,0338 ) сим.

Z΄_С 5,2 – j0,982

Узловое напряжение

Ů₀ = Ė_А Y΄_А + Ė_В Y΄_В + Ė_С Y΄_С =

Y΄_А + Y΄_В + Y΄_С

= 220 (0,119 – j0,059) + (-110 – j192) (0,2 – j0,0765) + (-110 + j192) (0,1795 + j0,0338)=

0,119 – j0,059 + 0,2 – j0,0765 + 0,1795 + j0,0338

= ( -21,2 – j64,3 )в.

Линейные токи:

İ_А = (Ė_А - Ů₀ ) Y΄_А = ( 220 + 21,2 + j64,3 ) (0,119 – j0,059 ) = ( 33,5 – j6,6 )а;

İ_В = (Ė_В - Ů₀ ) Y΄_В = (- 110 – j192 + 21,2 + j64,3 ) ( 0,2 – j0,0765) = (-27,6 – j 18,7 ) а;

İ_С = (Ė_С - Ů₀ ) Y΄_С = (-110 + j192 + 21,2 + j64,3 ) ( 0,1795 + j0,0338) = (-26,67 + j43 )а.

или

I_А = √ 33,5² + 6,6² = 34,2 а; I_В = √ 27,6² + 18,7² = 33,3 а; I_С = √ 24,67² + 43² = 50,6 а.

Если нагрузка будет симметричной, то решение будет отличаться тем, что после преобразования треугольника в звезду и «внесения» в нее сопротивлений проводов, нет надобности заканчивать решение методом узлового напряжения, так как звезда будет симметричной, напряжения на ее фазах будут одинаковые и их можно подсчитать по заданным линейным напряжениям.