§ 15. Некоторые сведения из дифференциальной геометрии

1. Понятие о естественных осях и естественном трехграннике. Кинематические характеристики движение точки тесно связаны с геометрическими свойствами траектории. Поэтому целесообразно рассматривать движение точки в системе координат, образований главными направлениями пространственной кривой. Как известно из дифференциальной геометрии, в каждой точке кривой есть три взаимно перпендикулярных направления: касательная, главная нормаль и бинормаль, единичные векторы (или орты) которых обозначим соответственно τ,n,b. Орт τ направлен в сторону положительного отсчета дуговых координат s, орт n – в сторону вогнутости траектории, орт b направлен так, чтобы векторы τ,n,b образовали правую систему координат. Указанные оси (касательная, главная нормаль и бинормаль) называются естественными осями. Следовательно, естественные оси – это подвижные оси, связанные с движущейся точкой М и образующие правую прямоугольную систему координат. Плоскость, проходящая через обе нормали (главную нормаль n и бинормаль b), называется нормальной плоскостью. Координатная плоскость, проходящая через касательную нормаль n, называется соприкасающейся плоскостью.

Соприкасающуюся плоскость в некоторой точке М кривой можно определить также, как предельное положение плоскости, прохо­дящей через касательную в точке М и любую точку кривой М₁, когда последняя стремится в пределе к совпадению с точкой М.

При движении точки по траектории направления естественных осей непрерывно изменяются.

2. О кривизне кривой. Угол между двумя касательными в двух сколь угодно близких точках М и М₁ на кривой называется углом смежности. Обозначим его через Δφ. Отношение Δφ к элементу дуги Δs называется средней кривизной кривой К_{с р} на отрезке ММ₁

K_CP=

Предел этого отношения при Δs 0 называется кривизной К кри­вой в данной точке:

K =

Следует заметить, что в общем случае кривизна кривой не явля­ется постоянной величиной и изменяется от точки к точке.

Величина р, обратная кривизне кривой в данной точке М, назы­вается радиусом кривизны кривой в этой точке:

ρ = K = ,

откуда К = .

§ 17. Частные случаи движения точки

1. Прямолинейное движение. Если во время движения нормальное ускорение ω_n равно нулю, то движение точки является прямолинейным. Действительно, если ω_n = 0, то =0 и ρ=∞, т. е. траекторией являемся прямая. В этом случае полное ускорение равно касательному: ω= ω_τ.

2. Если в криволинейном движении точки в какой-нибудь момент времени нормальное ускорение равно нулю (ω_n= 0), эта точка в данный момент находится в точке перегиба траектории.

3. Равномерное криволинейное движение. Если во время движения точки касательное ускорение ω_τ равно нулю (ω_τ=0) величина проекции скорости υ_τ не изменяется. Действительно, ω_τ=0; ; υ_τ=const. В этом случае точка движется равномерно по кривой, а полное ускорение точки равно нормальному: ω=ω_n.

4. Равномерное и прямолинейное движение. Если во время движения точки ее ускорению равно нулю (ω = 0), то движение является равномерным и прямолинейным, так как скорость в этом случае не изменяется ни по величине, ни по направлению.

5 Равнопеременное движение. Если во время движения точки ю некоторой кривой касательное ускорение будет постоянным(ω_τ=const), то движение точки называется равнопеременным криволинейным движением. При этом если τω_τ совпадает с направлением скорости, то движение называется равноускоренным, если τω_τ не совпадает с направлением скорости, то движение точки будет равнозамедленным.

Выразим скорость и закон движения точки s=s (t) в случае равнопеременного движения.

Так как ω_τ= const, то υ_τ =const, υ_τ = ω_τt + С₁. Постоянную интегрирования найдем из начальных условий движе­ния: при t = О, υ_τ = υ₀-Следовательно, С₁ = υ_о. Получим

υ_τ= υ₀+ ω_τt

Так как υ_τ = s, то

s= υ₀+ ω_τt, ds= υ₀dt+ ω_τtdt.