§ 10. Скорость точки в естественных координатах

Движение точки будет задано в естественной форме, если известна ее траектория и закон (или уравнение) движения по траектории s=s (t), где s — дуговая координата точки (рис. 41), заданная как функция времени. Точка О — начало дуговых координат. Дуговая координата может быть положительной и отрицательной. Применяя формулу (11.13), получим

υ = r= lim

или υ = lim

то является единичным вектором (или ортом) ка­сательной, который обозначим через τ. Действительно, - век­тор, направленный по секущей (рис. '41). В пределе получим вектор , направленный по касательной

=τ,

где τ по модулю равен единице. Таким образом, найдем

υ = τs.

Умножая скалярно обе части этого равенства на τ, получим

υ ∙ τ=τ ∙τs,

или

υ = s,

где υ = υ cos (υ, τ) — проекция вектора скорости υ на касатель­ную τ, проведенную в рассматриваемой точке М в сторону возрас­тания дуговой координаты s.

Следовательно, проекция вектора скорости на направление орта касательной равна первой производной по времени от дуговой координаты.

Окончательно получим выражение для скорости при естествен­ном способе задания движения точки

υ = τs.

§ 12. Ускорение движения точки

Физическая величина, характеризующая быстроту изменения во времени скорости движения точки, называется ускорением. Рассмотрим два сколь угодно близких положения точки М и М на траектории. Скорость в точке М обозначим υ, а в точке М₁ — υ + Δυ (рис. 42). Геометрическое приращение вектора скорости Δυ за промежуток времени Δt найдем, построив в точ­ке М вектор, равный υ+ Δυ и соединив концы векторов υ и υ + Δυ. Отношение Δυ к Δt представит собой среднее ускорение ω_CP т.е.

w_Ср=

Вектор w_Ср имеет направление Δυ (рис, 42).

Переходя в (11.27) к пределу при Δt 0 , найдем ускорение w в данный момент времени

w= Если этот предел существует, то получим

w= =υ

или

w=

так как υ=r. Таким образом,

w=υ=r

Из (11.28) видно, что ускорение точки равно нулю лишь тогда, когда скорость точки υ посто­янна как по величине, так и по направлению: это соответствует только прямолинейному и равно­мерному движению. В СИ за единицу ускорения принимают 1 м/с².

Так как ускорение в данной точке равно первой производной по времени от скорости, то оно направлено по касательной к годографу скорости. Проводя в каждой точке траектории векторы, соответ­ственно равные w₁, w₂, ..., w , определим направление ускорения в каждой точке (рис. 43). Конечно, приведенный способ определения направления ускорения точки представляет только теоретический интерес. На практике ускорение определяют более удобными мето­дами, о которых будет идти речь в следующих параграфах.

§ 13. Проекции ускорения на оси декартовых координат

Если движение точки задано координатным способом, т. е. уравнениями

x = x(t), y = y(t), z=z(t),

то, раскладывая векторы r, υ и w по ортам координатных осей, по­лучим

r=ix+jy+kz,

υ= iυ_X+jυ_Y+kυ_Z,

w=iw_X+jw_Y+kw_Z

,где w_X,w_Y,w_Z - проекции ускорения на оси координат. На основании предыдущей формулы можно написать iω_X+i ω_Y+k ω_Z= iυ_X+jυ_Y+kυ_Z

или

iω_X+i ω_Y+k ω_Z= ix+jy+kz,

откуда

ω _х = υ_X = x ω_у = υу = у, ω_Z=υ_Z= z.

Проекции ускорения на неподвижные оси координат равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости на те же оси или вторым производным по времени от соответствующих координат движущейся точки.

Модуль ускорения

ω= =

Направляющие косинусы ускорения соответственно равны

cos(ω^ί)= ; cos(ω^ĵ)= ; cos(ω^k)=

§ 14. Ускорение точки в полярных координатах

Пусть движение точки М в плоскости Оху задано в полярных координатах г = г (t); φ = φ (t). Декартовы координаты выража­ются через полярные по формулам

х = г соs φ, у = г sinφ..

Найдем проекции ω_r и ω_φ ускорение ω точки на радиальное (r) и трансверсальное (φ) направление (рис.44)

Для ω_X и ω_Y имеем выражение

ω_X=ω_rcosφ-ω_φsinφ, ω_Y=ω_r sinφ+ω_φcosφ

С другой стороны,

ω_Х=x=r cosφ – 2rφ sinφ – rcosφ ∙ φ² – r sinφ ∙ φ,

ω_Y=y=r sinφ + 2 rφ cosφ - rsinφ ∙ φ² + r cosφ ∙ φ

Таким образом, получим

ω_r=r – rφ², ω_φ=2rφ + rφ.

Модуль ускорения

ω= =

Обозначая через θ угол, образованный ускорением с положительным радиальным направлением, определим направление ускорения ω точки по формуле

tgθ= .