Графическое нахождение центра тяжести площади плоской фигуры

Положение центра тяжести площади плоской фигуры можно определить графически, как точку пересечения линий действия рав­нодействующих параллельных сил тяжести элементарных фигур, на которые расчленена рассматриваемая плоская фигура в данном положении и в повернутом на некоторый угол. Определяя графически центр тяжести площади плоской фигуры, сле­дует придерживаться такой последовательности:

1) Разбить рассматриваемую фигуру на элементарные, положение центров тяжести, которых можно легко опреде­лить;

2) измерив площади всех указанных фигур в выбран­ном масштабе, приложить их силы тяжести, которые пропор­циональны соответствующим площадям (рис. 34), т. е. р₁ = kS₁; р₂ = kS₂; ...; р_n = kS_n, где (k — коэффициент пропорциональности. Если при этом рассматриваемая плос­кая фигура содержит вырезанные площади (отверстия), то соответствующие силы тяжести, как вычитаемые силы, сле­дует направить вертикально вверх (рис. 35);

3) далее нужно обозначить параллельные силы соответственно полями и с помощью веревочного многоугольника опре­делить линию действия равнодействующей;

4) повернув все силы на один и тот же угол, вновь следует опре­делить линию действия равнодействующей. Точка пересечения С указанных линий действия равнодействующих является центром тяжести рассматриваемой фигуры

КИНЕМАТИКА ТОЧКИ

§ 1. Предмет кинематики

Кинематикой (от греческого «кинема» — движение) называется раз­дел теоретической механики, в котором изучается механическое движение точки, системы материальных точек и абсолютно твердого тела независимо от действующих на них сил.

В кинематике изучают зависимости между пространственно-временными характеристиками механического движения. Поэтому кинематику называют также геометрией движения.

Движение механического объекта в кинематике рассматривают от­носительно некоторой системы координат, связанной с другим те­лом, например, с Землей. Эта система координат называется систе­мой отсчета. Условимся в дальнейшем пользоваться правой системой координат. Положение тела в пространстве будет определено, если будет известно положение всех его точек по отношению к выбранной системе отсчета.

Обычно кинематику подразделяют на две части — кинематику точки и кинематику твердого тела.

§ 2. Краткие сведения по истории развития кинематики

Кинематика, как специальный раздел теоретической механики, возникла позднее статики и динамики, а именно, в начале второй половины XIX в. Появление первых исследований по кинематике связано с изобретением огнестрельного оружия. В первую очередь внимание исследователей привлекали вопросы определения траекто­рии полета снаряда, уточнение понятий о неравномерном и криво­линейном движении точки. Леонардо да Винчи (1452—1519) первый экспериментально изучал вопрос о свободном вертикальном паде­нии тяжелого тела. Однако лишь благодаря трудам Г. Галилея (1564—1642) развитие механики тесно связывается с запросами техники того времени. Галилею принадлежит введение понятия об ускорении и доказательство того, что траекторией движения снаряда, брошенного в пустоте под некоторым углом к горизонту, является парабола. Законы, найденные Галилеем, были развиты в исследова­ниях Э. Торричелли (1608—1647), установившем формулу пропорцио­нальности скорости падения тела корню квадратному из высоты падения. Обобщение понятия ускорения на случай криволинейного движения было получено X. Гюйгенсом (1629—1695), который первым обратил внимание на возможность разложения ускорения при криволинейном движении на касательное и нормальное. Однако строгое доказательство этого было дано Л. Эйлером (1707—1783).

Кинематические законы движения планет были установлены И. Кеплером (1571—1630). Эти законы легли в основу закона все­мирного тяготения, открытого Ньютоном.

Л. Эйлеру принадлежат основополагающие исследования по ки­нематике точки в случае естественного способа задания движения, по кинематике вращательного движения твердого тела вокруг непо­движной точки. Он создал широко применяемый метод кинематиче­ского описания движения твердого тела с помощью трех углов, назы­ваемых углами Эйлера.

Развитие кинематики системы обязано трудам Ж. Лагранжа (1736-1813).

Однако только бурный рост машиностроения в XIX в. повлек за собой расцвет кинематики как науки. По предложению Ж. Ампе­ра в 1851 г. кинематика выделилась в особый раздел теоретической механики. Появляется ряд глубоких исследований по кинематике твердого тела французских ученых М. Шаля (1793—1886), Л. Пуансо, Г. Кориолиса (1792—1843). П. Л. Чебышев (1821—1894) создал в России научную школу по кинематике механизмов. Богатое науч­ное наследие по кинематике механизмов Чебышева разрабатывается советскими учеными, среди которых, в первую очередь, следует отметить Н. И. Мерцалова (1860—1948), И. И. Артоболевского, А. П. Котельникова (1865—1940), Д. С. Зернова, Л. В. Асура (1878—1920), Я. Л. Геронимуса и др.

«Отцу русской авиации» Н. Е. Жуковскому (1847—1921) принад­лежат первоклассные работы по теоретической механике, в том числе и по кинематике, в которых широко внедрены геометрические методы доказательств различных теорем. Ряд замечательных иссле­дований по кинематике принадлежит профессору Одесского уни­верситета В. Н. Лигнину (1846—1900), возглавлявшему на Украине научное направление исследований по кинематике.

Пространство и время в теоретической механике и их измерение

Основоположник классической механики И. Ньютон в своем произведении «Математические начала натуральной философии» (1687 г.) ввел понятия об абсолютном времени и пространстве.

Ньютон исходил из правильных материалистических позиций, признавая объективный характер пространства и времени. Вводя понятия абсолютного пространства и времени, но отрывая их от движущейся материи, Ньютон становился метафизиком.

Как было отмечено в введении, диалектический материализм рассматривает пространство и время как объективные формы сущест­вования материи. Пространство и время без материи, как и материя вне пространства и времени, не существуют.

Пространство и время неразрывно связаны между собой, их един­ство проявляется в движении. «В мире нет ничего, кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени».

В теоретической механике пространство, в котором рассматри­вается движение тел, трактуется как трехмерное эвклидово прост­ранство.

В отличие от теоретической механики, теория относительности (релятивистская механика) опирается на иные представления о про­странстве и времени. Этому содействовало появление новой геомет­рии — геометрии Н. И. Лобачевского (1792—1856). В противополож­ность Ньютону, Н. И. Лобачевский не отрывал пространство и время от движения, рассматривая последнее как изменение поло­жения одних тел по отношению к другим. В своем произведении «Новые начала геометрии» он писал: «В природе мы познаем собст­венно только движение, без которого чувственные представления невозможны. Следовательно, все другие понятия, например гео­метрические, образованы нашим разумом искусственно, будучи взятыми в свойствах движения, а поэтому пространство само по себе, отдельно, для нас не существует»². Из высказываний Н. И. Лоба­чевского видно, что он рассматривал свойства пространства как проявление взаимосвязей между движущимися телами. За 80 лет до появления теории относительности Н. И. Лобачевский показал, что эвклидова геометрия относится к абстрактным геометрическим системам, в то время как в физическом мире пространственные соот­ношения определяются физической геометрией, отличной от эвкли­довой, в которой свойства пространства и времени органически объ­единены со свойствами материи, движущейся в пространстве и вре­мени.

Следует отметить, что передовые русские ученые в области механики стихийно или сознательно стояли на правильных мате­риалистических позициях в трактовке всех основных понятий теоре­тической механики, в том числе пространства и времени. Заметим, что эти взгляды на пространство и время в теории относительности соответствуют представлениям о пространстве и времени классиков марксизма, сформулированных ими задолго до появления работ по теории относительности.

В теоретической механике при измерении пространства за основ­ную единицу длины принимают метр (м), а за основную единицу времени — секунду (с). Время предполагается одинаковым в любых системах отсчета (системах координат) и не зависимым от движения этих систем относительно друг друга. Время обозначается буквой и рассматривается как непрерывно изменяющаяся величина, прини­маемая в качестве аргумента.

При измерении времени в кинематике различают такие понятия, как промежуток времени, момент времени, начальный момент вре­мени.

Промежутком времени называется время, протекающее между двумя физическими явлениями. Моментом времени называют границу между двумя смежными промежутками времени. Начальным момен­том называется время, с которого начинают отсчет времени.

§ 4. Основная задача кинематики точки

Основной задачей кинематики точки является изучение законов движения тачки. Зависимость между произвольными положениями движущейся точки в пространстве и времени определяет закон ее движения. Закон движения точки считают известным, если можно определить положение точки в пространстве в произвольный момент времени. Положение точки рассматривается по отношению к вы­бранной системе координат. При своем движении точка описывает некоторую кривую (в частности, прямую), называемую траекто­рией. Если траекторией является прямая линия, то движение точки называется прямолинейным. В случае, когда траекторией является кривая линия, то движение точки называется криволинейным.

§ 5. Три способа определения движения точки

Движение точки можно определить тремя способами: векторным, координатным и естественным.

1. Векторный способ. Положение точки можно определить с по­мощью радиуса-вектора г, проведенного из некоторой заданной неподвижной точки О в данную точку М При движении точки радиус-вектор г изменяется по величине и направлению Каждому моменту времени г соответствует свое значение г. Следовательно, г является функцией времени г:

г = г (t)

Функцию г (t) полагают однозначной, так как рассматриваемая точка М в данный момент времени может находиться только в одном месте пространства Кроме этого г (t) должна быть непрерывной функцией. В большинстве задач механики функция г (t) является Дважды дифференцируемой функцией времени t. Уравнение (11.1) называется кинематическим уравнением движения точки в векторной форме. Это уравнение выражает также закон движения точки, и в векторной форме выражает уравнение траектории точки.

При движении точки конец вектора г движется по траектории. Геометрическое место концов переменного вектора при фиксирован­ной точке их приложения называется годографом («годос» по-гречес­ки — путь, «граф» — описывать). Следовательно, траектория точки является годографом радиуса-вектора г.

2. Координатный способ. Этот способ определения движения точки состоит в том, что задаются координаты точки как функции времени, т. е.

х=х(t), у = у(t), z = z(t)

Между векторным и координатным способами задания движения точки существует следующая связь:

r=ix+jy+kz

_{где i,j,k — орты (или единичные векторы), соответственно направ­ленные по осям координат Ох, Оу, Оz.}

_{На том же основании, что и г (t), функции х(t), у(t), z (t) являются однозначными, непрерывными, допускающими непрерывные производные.}

_{Уравнения (П.2) являются уравнением траектории в параметрической форме. Исключая из уравнений (П.2) параметр t, получаем уравнение траектории в явной форме.}

_{Если движение точки задано в полярных координатах}

г=г(t), φ = φ(t),

где г — полярный радиус, φ — угол между полярной осью и по­лярным радиусом, то уравнения (П.4) выражают уравнение траекто­рии точки. Исключив параметр t, получим

г = г(φ).

3. Естественный способ. Если траектория точки известна зара­нее, то для определения закона движения точки в пространстве до­статочно задать положение точки на ее траектории. С этой целью одну из точек О на траектории принимают за начало отсчета дуговых координат, так как положение движущейся точки М определяется ее ориентированным расстоянием, которое отсчитывается по дуге траектории от выбранной точки отсчета (рис. 36). Следовательно, является функцией времени:

s = s(t).

Уравнение (11.6) определяет закон движения точки по траек­тории или закон изменения расстояния. Функция s= s (t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой.

За положительное направление отсчета дуговой координаты s принимают направление движения точки в момент, когда она занимает положение О. следует помнить, что уравнение (11.6) не определяет закон движения точки в пространстве, так как для определения положения точки в пространстве нужно знать еще траекторию точки с начальным положением точки на ней и фиксированное положительное направление. Таким образом, движение точки считается заданным естественным способом, если известна траектория и уравнение (или закон) движения точки по траектории.

Важно заметить, что дуговая координата точки s отлична от пройденного точкой по траектории пути σ. При своем движении точка проходит некоторый путь σ, которой является функцией времени t. Однако пройденный путь σ совпадает с расстоянием s лишь тогда, когда функция

s = s(t) монотонно изменяется со временем, т.е. при движении точки в одном направлении. Допустим, что точка М переходит из М в М . Положению точки в М соответствует время t , а положению точки в М - время t . Разложим промежуток времени t - t на весьма малые промежутки времени Δ t (i = 1,2, …n) так, чтобы в каждый из них точка совершала движение в одном направлении. Соответствующее приращение дуговой координаты обозначим Δ s . Пройденной точкой путь σ будет положительной величиной: σ =

Если движение точки задано координатным способом, то пройденный путь определяется по формуле

σ=

так как

dσ=

где dx=xdt, dy= ydt, dz=zdt.

Следовательно,

dσ = | ds| = .