Пара сил

Парой сил называется система двух параллельных сил, равных по величине, направленных в противоположные стороны и приложенных к твердому телу.

Пара сил может быть ориентирована положи­тельно (против часовой стрелки в правой системе координат) и отрицательно (по часовой стрелке в левой системе координат). Очевидно, что с переходом от правой системы координат к левой ориентация пары сил изменяется на противоположную. Кратчайшее рас­стояние Н между линиями действия сил пары называется ее плечом.

Главный вектор пары сил равен нулю. Пусть силы F и —F пары приложены соответственно в точках А и В. Определим главный мо­мент пары сил относительно какой-либо точки О. Главный момент пары сил не зависит от выбора центра момен­тов; он обозначается М и называется моментом пары сил:

1 М₀ = М = В А х F.

Итак, момент пары сил — это свободный вектор, по модулю равный М = Fh и направленный перпендикулярно плоскости ее действия так, чтобы с вершины этого вектора пара сил была ориентирована положительно.

§ 6. Теорема о параллельном переносе силы

Теорема. Действие силы на твердое тело не изменится, если перенести ее параллельно самой себе в некоторую точку (центр приведения), присоединив при этом пару сил.

Пусть к телу приложена в точке А сила Р (рис. 15), выберем произвольный центр приведения — точку О. По первой аксиоме в точке О приложим силы Р и —р. Тогда в точке О получим силу Р, перенесенную парал­лельно самой себе, и присоединенную пару, момент ко­торой равен моменту данной силы Р относительно центра приведе­ния О:

М (F, —F) = Мо (F).

Условия равновесия различных систем сил,

приложенных к твердому телу

1. Условия равновесия произвольной системы сил в пространстве. Необходимыми и достаточными условиями равновесия произвольной пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, являются обращение в нуль ее главного вектора и главного момента относительно какой-либо точки пространства

R = 0, М₀ = 0,

где

R= , M₀= .

Уравнения (1.36) выражают механические условия равновесия произвольной пространственной системы сил (свободного твердого тела).

Условия равновесия произвольной пространственной системы сил можно выразить в геометрической форме: многоугольники сил и моментов этих сил должны быть замкнутыми.

При равновесии векторы R и Мо равны нулю, следовательно, равны нулю и их проекции на координатные оси. На основании формул (1.25) и (1.27) получим условия равновесия произвольной пространственной системы сил в аналитической форме:

Произвольная пространственная система сил (свободное твердое тело) находится в равновесии, когда алгебраические суммы проекций всех сил на три координатные оси и алгебраические суммы моментов этих сил относительно координатных осей равны нулю

Условия равновесия, выраженные в аналитической форме, называются также уравнениями равновесия. Если число неизвестных превышает число уравнений равновесия, то задача является статически неопределенной.

2. Условия равновесия сил, произвольно расположенных в одной плоскости.

Рассмотрим произвольную систему сил, расположенных в одной плоскости (рис. 18). Для удобства исследования совместим с этой плоскостью координатную плоскость Оху. Тогда из шести уравнений (1.37) третье, четвертое и пятое обратятся в тождества.

Таким образом, произвольная система сил, расположенных в одной плоскости, уравновешивается лишь в том случае, когда алгебраические суммы проекций всех сил на две координатные оси (Ох и Оу) и алгебраическая сумма моментов сил относительно произвольной точки этой плоскости равны нулю:

Условия (1.38) называются уравнениями равновесия произвольной системы сил на плоскости. Для статической определенности задачи необходимо, чтобы число неизвестных не превышало трех.

Заметим, что форму уравнений равновесия можно изменить, но нельзя изменить их количества, так как оно соответствует механиче­ским условиям равновесия. Можно составить одно уравнение проек­ций сил на одну из координатных осей (например, Ох) и два урав­нения моментов сил относительно двух точек А u В, лежащих в плоскости действия сил, причем прямая АВ не должна быть перпен­дикулярной к оси Ох, а именно!

,

Можно также составить три уравнения моментов сил относительно трех точек, не лежащих на одной прямой, т. е.

3. Условия равновесия системы параллельных сил в пространстве.

Рассмотрим произвольную систему параллельных сил (рис. 20). Для удобства исследования расположим координатную плоскость Охz так, чтобы она была перпендикулярна к заданным параллель­ным силам. Тогда из шести уравнений равновесия (1.37) первое, третье и шестое обратятся в тождества (независимо от того, находится ли данная система в равновесии или нет)

,

Для равновесия системы параллельных сил в прост­ранстве необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций сил на ось, им параллельную, равнялась нулю и алгебраическая сумма моментов сил относительно двух дру­гих координатных осей равнялась нулю:

,

Эти условия называются также уравнениями равновесия парал­лельных сил в пространстве. Для статической определенности задачи число неизвестных не должно превышать трех.

4. Условия равновесия параллельных сил на плоскости.

Если силы расположены в одной плоскости и параллельны, например, оси у-ов, то получим:

,

Следовательно, для равновесия параллельных сил, расположенных в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций сил на параллельную им ось и алгебраическая сумма моментов этих сил относительно произвольной точки равнялись нулю.

Условия (1.40) называются также уравнениями равновесия. Для статической определенности задачи число неизвестных сил не долж­но превышать двух.

Условиям равновесия (1.40) можно придать другую форму. Можно составить уравнения моментов сил относительно двух точек А и В: