§ 2. Гипотеза Ньютона о коэффициенте восстановления

Пусть о неподвижную плоскость ударяется тело, которое будем считать материальной точкой. Обозначим скорость падения υ, ско­рость отражения u, угол падения α, а угол отражения β (рис. 134).

Мгновенной силой при рассматриваемом ударе является ре­акция поверхности. Так как мгновенным трением можно пре­небречь, то мгновенной силой является нормальная реакция N.

Применяя к движущейся точке теорему об изменении коли­чества движения за время удара τ, получим

где - импульс мгновенной силы N , направленной по нормали n к плоскости.

Векторы u, υ и n лежат в одной плоскости. Поэтому, проектируя обе части этого равенства на направления нормали n и касательной τ, получим два уравнения:

Из второго уравнения видим, что

т. е. касательные составляющие скоростей точки до и после удара равны между собой. Для определения же нормальных составляющих u_n и υ_n имеем лишь одно первое уравнение. Чтобы найти u_n и υ_n, необходимо к этому уравнению добавить еще одно уравнение, в ко­тором были бы учтены физические (в первую очередь упругие) свой­ства материала падающего тела и плоскости, о которую оно ударяет­ся. Это недостающее уравнение дал И. Ньютон в виде

где величина k, равная отношению абсолютных величин нормальных составляющих скорости точки М после удара u_n и до удара υ_n, назы­вается коэффициентом восстановления при ударе и определяется опытным путем.

Как показывают опыты, коэффициент восстановления не может быть больше единицы и, в зависимости от материала соударяющихся тел, принимает значения от 0 до 1:

0≤k≤1,

причем

§ 3. Опытное определение коэффициента восстановления

Коэффициент восстановления зависит от упругих свойств соударяющихся тел и определяется опытным путем. Для этого изготовля­ют шарик из материала, для которого нужно определить коэффициент восстановления k, и дают ему упасть с некоторой высоты h без началь­ной скорости на массивную плиту из соответствующего материала. Шарик ударяется о плиту со скоростью .

После удара шарик поднимается на высоту h₁ со скоростью Так как эти скорости нормальны к поверхности плиты, u_n=-u, u_n= υ_n и коэффициент восстановления выразится так:

Например, значение коэффициента восстановления для дерева k = 0,5, для стекла , для слоновой кости .

§ 4. Прямой удар двух шаров

Удар двух шаров называется прямым, если скорости их центров инерции направлены по прямой, соединяющей эти центры. Как пока­зал Н. Е. Жуковский, все положения об ударе шаров могут быть пере­несены на удар каких-либо тел.

Пусть скорость центра инерции первого шара до удара—υ₁, а пос­ле удара—u₁ , масса первого шара — m₁, второго шара — m₂, скорость до удара — υ₂, а после удара — u₂. В соответствии с определением прямого удара скорости центров инерции этих шаров направлены по прямой, соединяющей эти центры. Мгновенными силами при ударе этих тел являются силы давления одного шара на другой, им­пульсы которых обозначим через S.

Для определения скоростей соударяющихся тел после удара u₁, u₂, а также импульсов мгновенных сил S рассмотрим движение каж­дого тела в отдельности. Применяя теорему импульсов в проекции на ось С₁х, получим

Складывая эти уравнения, найдем основное уравнение Ньютона (в теории удара)

Из (111.261) видим, что количество движения материальной си­стемы при ударе не изменяется.

Это утверждение следует также из того, что при ударе двух тел действуют мгновенные силы, являющиеся внутренними силами в данной системе, а внутренние силы не могут изменить количество дви­жения системы. Однако одного уравнения (111.298) недостаточно для изучения прямого удара двух тел, так как из этого уравнения нельзя определить u₁ и u₂ т. е. скорости тел после удара.

Второе уравнение вводится на основании гипотезы Ньютона о ко­эффициенте восстановления k, который равен

где u₂ — u₁ и υ₁ — υ₂ — соответственно проекции относительных ско­ростей на ось С₁х соударяющихся тел до и после удара.