§ 4. Дифференциальные уравнения плоско-параллельного движения твердого тела

Как известно из кинематики (ч.II., гл. V, § 3), плоско-параллель­ное движение твердого тела определяется тремя независимыми параметрами: координатами х_c и у_c полюса (который выберем в центре инерции С тела) и углом поворота φ тела вокруг центра инерции (рис. 118). Следовательно, в данном случае тело имеет три степени свободы (k = 3). Поэтому составим три уравнения Лагранжа второго рода

(j=1,2,3).

Будем рассматривать координаты х_c, у_c и угол по­ворота φ, как обобщенные координаты: q₁=x_c, q₂=y_c, q₃= φ

Пусть к телу приложена система сил F₁, F₂,…,F_n указанная на рис. 118. Вычислим обобщенные силы

где R_x, R_y — проекции главного вектора приложенных к телу внешних сил F_i на координатные оси Ох и Оу, а М_c — главный момент этих сил относительно оси С_z,перпендикулярной к плоскости движения.

Обобщенные силы соответственно равны

Кинетическая энергия тела согласно формуле (111.121) равна

где m — масса тела, I_c-его момент инерции относительно центральной оси С_z.

Вычисляя частные производные и и подставляя в урав-

нения Лагранжа второго рода, получим искомые дифференциальные уравнения плоско-параллельного движения твердого тела

или в векторной форме

mr_c=R, I_cε=M_c,

где ε=φ — угловое ускорение тела, г_c = ω_c — ускорение центра масс тела,

М_c — главный момент относительно точки С.

П р и м е р. Колесо радиуса г и веса Р катится без сколь­жения по горизонтальной плоскости под действием силы F, приложенной в центре инерции колеса (рис. 119). Задан закон движения центра инерции колеса х_c = , у_c = г.

Найти величину силы F, нормальную реакцию опоры N и коэффициент трения k колеса о плоскость.

Произведем анализ сил, действующих на колесо. На него действует сила F, сила тяжести Р и реакция горизонтальной плоскости, состоящая из нормальной реакции N и силы тре­ния F_тр, которая направлена в сторону, противоположную движению колеса.

Применив уравнения (111.226), получим

Так как

x_c=1, y_c=0, F_тр=kN, M_c=-F_трr=-kNr,

то

N=P,

Мгновенный центр скоростей тела находится в точке касания колеса с плос­костью движения. Поэтому

Таким образом,

N=P,

§ 5. Дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки (динамические уравнения Эйлера)

Для вывода дифференциальных уравнений вращательного дви­жения твердого тела вокруг неподвижной точки воспользуемся уравнениями Лагранжа второго рода

(j=1,2,…,λ).

и совместим подвижные координатные оси Oξ, Oη, Oζ неизменно связанные с телом, с его главными осями инерции относительно неподвижной точки О.

Из кинематики известно (ч. II, гл. VI, § 2), что положение твер­дого тела с неподвижной точкой определяется тремя углами Эйлера, которые примем за обобщенные координаты

q₁=ψ, q₂= θ, q₃=φ.

Тело в рассматриваемом случае имеет три степени свободы (k = 3).

В соответствии с формулами (111.118), кинетическая энергия тела равна

где А =I_ξ , В =I_η, С=I_ζ - главные моменты инерции тела от­носительно подвижных осей, р=ω_ξ, q=ω_η, r=ω_ζ -проекции угловой скорости вращения тела на подвижные оси, определяемые из кинематических уравнений Эйлера

Вычислим частные производные

так что

Аналогично получим:

В соответствии с теоремой Эйлера о перемещении тела с неподвиж­ной точкой (ч. II, гл. VI, § 1)

следовательно, обобщенные силы соответственно будут

Q₁=M_z, Q₂=M_ON, Q₃=M_ζ,

где M_z, M_ON, M_ζ— главные моменты приложенных к телу внешних сил относительно неподвижной оси О_z, линии узлов ОN и подвижной оси O_ζ.

Таким образом, уравнения Лагранжа второго рода в рассматри­ваемом случае будут

S₁=M_z, S₂=M_N, S₃=M_ζ.

Из трех полученных дифференциальных уравнений первые два очень громоздкие, в то время как третье уравнение

имеет чрезвычайно простую, симметричную форму и оно явно не со­держит компоненты угловой скорости тела p,q,r. Очевидно, слож­ность записи первых двух уравнений объясняется тем, что в правых частях этих уравнений вместо моментов М_ξ, М_η фигурируют

отличные от них обобщенные силы М_z и М_N. Однако путем надлежа­щего преобразования г эти уравнения можно привести к форме, аналогичной третьему уравнению.

Итак, дифференциальные уравнения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной точки принимают вид

Эти уравнения называются динамическими уравнениями Эйлера. Заметим, что уравнения Эйлера можно также вывести, применив теорему об изменении кинетического момента.