Интегрируя, найдем

s= υ₀t+

Постоянную интегрирования С₂ определим из начальных условий движения: при t = 0, s = s₀. Следовательно, С₂ = s₀. Поэтому

s= s₀+ υ₀t+

6. Прямолинейные гармонические колебания точки. Пусть точ­ка движется по прямой, например по оси Ох, и ее расстояние х от начала координат изменяется по закону

x=a sin kt

где а и k — постоянные. Движение точки является колебательным между положениями точки М₁ (а) и М₂ (- а). Колебания, определяе­мые законом (11.48), называются прямолинейными гармоническими колебаниями. Они часто встречаются в технике. В формуле (11.48), а называется амплитудой колебаний, представляющей собой наи­большее отклонение точки от центра колебаний О. Промежуток вре­мени Т = течение которого точка совершает полное колебание, называется периодом колебаний; величина k называется круговой частотой колебаний (теория колебаний изложена в дина­мике),kt называется фазой колебаний.

ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

§ 1. Общие замечания

К простейшим движениям твердого тела относятся поступатель­ное движение и вращательное движение вокруг неподвижной оси.

В кинематике твердого тела при различных видах его движений интересуются кинематическими характеристиками как движения твердого тела в целом, так и кинематическими характеристиками движения отдельных его точек.

§ 2. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая намеченная в нем прямая движется, оставаясь параллельной самой себе.

Примером поступательного движения может служить движение спарника колес паровоза. Как известно, кривошипы О₁А и О₂В паровозных осей О₁ и О₂ соединяются спарником АВ (рис. 47). При этом О₁О₂ = АВ. При движении паровоза спарник АВ, оставаясь параллельным О₁О₂ совершает поступательное движение. Устанавливая основные свойства поступательного движения, докажем две теоремы.

Теорема 1. При поступательном движении твердого тела точки его описывают одинаковые траектории.

Доказательство. Действительно, пусть от­резок АМ соединяет две произвольные точки тела, совершающего поступательное движение. Положение точек А и М определим их радиусами-векторами r_A и г_M (рис. 48). Проведем вектор АМ = г, соединяющий точки А и М. Тогда

r_M=r_A+r

где r постоянно по величине и направлению (г = const). Из соотношения (11.49) видим, что траектория точки М получается из траектории точки А параллельным смещением точек этой траектории на постоянный вектор r = АМ.

Таким образом, траектории точек А и М будут одинаковыми кривыми, которые при наложении совпадают.

Теорема 2. При поступательном движении твердого тела в каж­дый момент все его точки имеют равные скорости и ускорения.

Доказательство. Действительно, дифференцируя (11.49), получим:

r_M=r_A+r

и, так как r= const, r=0. Следовательно,

r_M=r_A

или

υ_М=υ_А

Дифференцируя (11.50) по времени, получим

ω_М=ω_А

где

ω_М=υ_М, ω_А= υ_А

Теорема доказана.

Из изложенного следует, что изучение поступательного движения твердого тела сводится к изучению движения какой-нибудь одной его точки, т. е. к задаче кинематики точки.

Уравнения поступательного движения тела имеют вид

х_А= х_А(t), y=y_А(t), z_А= z_А(t)

§ 3. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси. Кинематическое уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое движение, при котором прямая, проходящая через какие-нибудь две точки, во время движения тела остается неподвижной. Эта прямая называется осью вращения тела.

В качестве положительного направления вращения тела примем его вращение против часовой стрелки.

Положение тела при вращении вокруг неподвижной оси опре­деляется углом поворота φ. Если провести в некоторый момент вре­мени t₀ через ось вращения OO₁плоскость Q и фиксировать ее поло­жение в неподвижном пространстве и в теле, а через некоторый промежуток времени провести другую плоскость Р, неизменно свя­занную с телом, то получится двугранный угол с ребром OO₁ на оси вращения. Линейный угол φ этого двугранного угла называется углом поворота тела. Условимся о знаке угла поворота φ. Если обнаружим, что со стороны положительного направления оси Оz переход от одной плоскости N к другой Р будет виден в направлении, противоположном ходу часовой стрелки, то угол поворота φ будем считать положительным, а если по часовой стрелке,— отрицательным. Угол φ измеряется в радианах. При известном числе оборотов N тела угол поворота определяется по формуле

При вращении тела угол поворота φ непрерывно изменяется во времени. Следовательно,

Уравнение (11.55) называется кинематическим уравнением вра­щательного движения тела вокруг неподвижной оси.

§ 4. Угловая скорость и угловое ускорение тела, вращающегося

вокруг неподвижной оси

1. За весьма малый промежуток времени t угол поворота (или угловое перемещение) изменится на величину . Отношение к называется средней угловой скоростью и обозначается т. е.

Угловая скорость тела в данный момент характеризует скорость изменения во времени угла поворота и равна первой производной по времени от угла поворота:

или

Угловая скорость измеряется в радианах в секунду ( . В тех­нике угловую скорость часто задают числом n оборотов в минуту (n об/мин). Тогда |

или

Если при вращении тела угловая скорость постоянна ( ), то вращение тела называется равномерным. Угол поворота при этом изменяется пропорционально времени. Действительно,

Следовательно,

где ₀ — начальный угол поворота. Уравнение (11.59) называется равнением равномерного вращения тела вокруг неподвижной оси. Следует заметить, что угловая скорость определяет также и на­правление вращения. Так, если > 0, тело вращается в направлении возрастания угла поворота и в противоположном направле­нии, если < 0. Поэтому угловую скорость изображают скользя­щим вектором направленным по оси вращения так, чтобы, смот­ря с конца этого вектора на его начало, видно было бы вращение тела против часовой стрелки. Указанное направление считается положительным в правой системе координат, а в левой — наоборот. Модуль вектора будет

2. Угловое ускорение тела характеризует скорость изменения угловой скорости во времени.

Угловое ускорение в данный момент равно первой производной по времени от угловой скорости или второй производной по времени от угла поворота.

Угловое ускорение обозначают буквой . Пусть за промежуток времени угловая скорость изменилась на со, тогда получим

Переходя к пределу, найдем угловое ускорение тела в данный момент времени

Или

За единицу углового ускорения принимают радиан за секунду в квадрате (рад/с²). Угловое ускорение , также как и , изображают скользящим вектором, направленным по оси вращения. Действительно, пред­ставляет собой вектор, направленный по касательной к годографу вектора . Годографом вектора ω является прямая, совпадающая с осью вращения . Поэтому направлен по оси 0_z. Модуль вектора ε будет равен

.

Если ε>O^ одного знака с ω, то направление ε совпадает с на­правлением ω (рис. 49) и вращение тела называется ускоренным.

Eсли ε < 0, а ω положительное, то направления ε и ω противоположны (рис. 49, б) и вращение тела называется замедленным.

Если ε = 0, то ω =0 и ω=const, т. е. тело вращается равномерно. При ε=const≠0, вращение тела называется равнопеременным.

Если ε=const≠0, то ω=ε=const . После интегрирования получим

ω=εt+C

Постоянную интегрирования С_г найдем из начальных условий движения. Например, если при t=0,ω=ω₀ , φ=φ_O, то С₁ =ω_O. Получим

ω=ω_O + εt.

Но, в свою очередь, ω=φ. Следовательно,

φ=ω_O + εt, dφ=ω_Odt+ εtdt.

Интегрируя, получим

φ=ω_O t+

Исходя из начальных условий движения, найдем С₂ = φ₀,

§ 5. Траектории точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Закон движения точки по траектории.

Траекториями точек тела при его вращении вокруг неподвижной оси, например Оz, являются окружности, расположенные в плоскостях, перпендикулярных к оси вращения. Центры этих окружностей находятся в точках пересечения оси вращения с указанными плоскостями. Радиусы данных окружностей называются также радиусами вращения точек тела. При повороте тела на угол φ для точки с радиусом вращения R закон движения точки по траектории будет

s=Rφ

где s — дуговая координата, соответствующая углу поворота

φ= φ (t)

§ 6. Скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Формула Эйлера

Скорость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется линейной. Заметим, что скорости точек на ободе маховика или вращающегося диска называются также окружными скоростями.

Так как движение точки в этом случае движения тела задано естественным образом, то величина линейной скорости будет равна

υ=|s| = R|φ|,

или

υ =Rω.

Следовательно, линейная скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, по величине равна произведению радиуса вращения на величину угловой скорости. Линейная скорость направ­лена по касательной к окружности в сторону вращения и, таким образом, перпендикулярна радиусу вращения R (рис 50).

Покажем, что линейная скорость точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна векторному произведению угловой ско­рости тела на радиус-вектор точки.

Действительно, пусть тело вращается вокруг неподвижной оси против часовой стрелки. Тогда вектор угловой скорости ω будет направлен в положительную сторону оси вращения Оz,. Положение рассматриваемой точки тела определим радиусом-вектором r. Радиус вращения R будет равен

R = r sin (ω^r).

Подставляя в (11.67), получим

υ = ωr sin (ω^r).

Следовательно, модуль линейной скорости будет равен модулю векторного произведения векторов ω и r. Очевидно далее, что на­правление линейной скорости точки υ совпадает с направлением век­торного произведения ω x r. Это непосредственно вытекает из определения векторного произведения двух векторов ω и r. Таким обра­зом, линейная скорость точки равна векторному произведению век­торов ω и r, т. е.

υ= ω х r.

Эта формула называется формулой Эйлера.

Выбрав оси координат, как указано на рис. 50, уста­новим формулы для проекций линейной скорости на оси координат, как проекций векторного произведения.

υ_x=ω_yr_z - ω_zr_y

υ_y=ω_zr_x - ω_xr_z

υ_z=ω_xr_y - ω_yr_x

где r_х = х, r_y = у, r_z = z, ω_x= 0, ω_у = 0, ω_z = ω;

х, y, z — координаты точки М.

Окончательно получим

υ_x = — ωy,

υ_y = ωx,

υ_z =0.

§ 7. Ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси

Так как в рассматриваемом случае движение точки задано естест­венным способом, то полное ускорение точки можно вычислить, как векторную сумму касательного ω_τ и нормального ω_n ускорений (см. глава I, § 16). Выразим эти ускорения через кинематические характеристики вращательного движения тела, т. е_; через ω и ε.

Имеем ω_n= ω_τ=s,

откуда, на основании формул (11.66) и (11.67),

или

ω_n = R ω²

и

ω_τ = s== Rφ,

или

ω_τ = Rε.

Следовательно, нормальное ускорение точки тела при вращении его вокруг неподвижной оси равно произведению радиуса вращения на квадрат угловой скорости. Касательное ускорение равно произведе­нию радиуса вращения на угловое ускорение. Нормальное ускорение направлено по радиусу вращения к центру вращения (рис. 51, а). Касательное ускорение направлено по касательной к траектории в сторону вращения, если движение ускоренное (ε > 0), и в сторо­ну, противоположную вращению, если движение замедленное, т. е. ε< 0 (рис. 51, б, в).

Модуль полного ускорения точки найдем по формуле (11.44), т. е.

или

Направление полного ускорения определим по тангенсу уг­ла α, который полное ускорение образует с нормальным ускоре­нием (рис. 52). Получим

tgα=

или

tgα=

Пример. Маховик вращается согласно уравнению φ = 2t². Определить скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки на ободе махо­вика в момент t = 10с, если R = 1,2 м.

Величину линейной скорости определим по формуле

υ =Rω.

Имеем

ω= φ = 4t рад/с, ε = φ = 4 рад/с²,

следовательно,

υ = 1,2 • 4t = 4,8t м/с.

В момент t = 10с υ= 48 м/с. Касательное ускорение

ω_т = Rε = 1,2 • 4 = 4,8 м/с² = const

нормальное ускорение

ω_n = Rω² = 1,2 • 16t² = 19.2t².

При t =10 с ω_n = 1920 м/с².

Полное ускорение ω= =1920.6 м/с²