Статические однономенклатурные детерминированные модели запасов.

Математические модели управления запасами (УЗ) позволяют найти оптимальный уровень запасов некоторого товара, минимизирующий суммарные затраты на покупку, оформление и доставку заказа, хранение товара, а также убытки от его дефицита.

Простейшая модель и формулы Уилсона

 Начнем с простейшей модели, предполагающей отсутствие неопределенностей. Мы увидим далее, что эта модель лежит в основе других, существенно более сложных и развитых моделей управления запасами.

Продукция поступает на склад, хранится там и уходит со склада в соответствии со спросом. В простейшей модели все полностью прогнозируемо, интенсивность спроса известна и постоянна. Обозначим ее посредством g. Таким образом, в единицу времени со склада уходит g единиц продукции.

Запас на складе пополняется периодически и одинаковыми поставками (партиями).

Дефицит (неудовлетворенный спрос) в простейшей модели рассматривается как явление недопустимое

Типичная динамика величины складского запаса Q во времени представлена ниже на графике.

Рис. 1. График циклов изменения запасов в модели Уилсона

Можно пополнять запас большими партиями через длинные промежутки времени, а можно малыми партиями и через короткие промежутки. Задача в том, чтобы определить оптимальный размер партии (и, соответственно, оптимальную длину цикла).

Слишком ранний приход поставки, когда запас еще имеется, не выгоден, поскольку приходится хранить лишний запас (и раньше времени оплачивать поставку). Поскольку неопределенность отсутствует, то все можно спрогнозировать и рассчитать. Очередная партия должна приходить в момент, когда запас на складе опускается в точности до 0.

Введем следующие обозначения:

n объем одной поставляемой партии;

T интервал между поставками (цикл);

b интенсивность расходования запасов;

с₁ затраты на доставку, не зависящие от объема партии (организационные издержки);

с₂ затраты на хранение единицы продукта в единицу времени;

N общее потребление запасаемого продукта за общий интервал времени работы.

В момент поставки размер запаса поднимается вверх на величину поставки n и затем расходуется с постоянной интенсивностью b. Величина b определяет угол наклона прямых на графике. Поскольку интенсивность постоянна, то наклонные прямые параллельны.

Общие затраты С определяются суммой затрат на поставку и хранение:

Задача состоит в определении таких параметров поставок, которые дадут минимум этой функции.

При коротких циклах (частые поставки небольшими партиями) затраты будут значительными за счет первого слагаемого. При длинных циклах (редкие поставки крупными партиями) – за счет второго. Сумма этих слагаемых достигает минимума при некоторой промежуточной длине цикла * (см. графики затрат).

  

Для того, чтобы рассчитать оптимальные параметры модели достаточно продифференцировать полученное выражение для затрат и приравнять производную нулю. Получим:

Оптимальный объем партии - ;

Длительность цикла - ;

Оптимальные средние затраты в единицу времени -

Оптимальный размер партии в этих условиях называется также экономичным объемом заказа (economic order quantity – EOQ).

Полученные формулы называются формулами Уилсона (Wilson). Они действительны для простейшей модели, соответствующей весьма жестким предположениям. Однако формулы для других, сложных моделей, гораздо более приближенных к реальности, обычно оказываются модификациями формул Уилсона. В этом смысле формулы Уилсона имеют базовый характер.

 Величина L не включает непосредственно затраты, связанные со стоимостью товара. Для обеспечения спроса в единицу времени требуется  единиц товара. Пусть товар покупается по цене c. Тогда затраты по стоимости товара равны cn. Обозначим посредствомL средние издержки в единицу времени с учетом стоимости партии. Тогда

L = L + cn.

При реализации оптимальной стратегии получаем

L* = L* + c.

 Поставка партии на склад требует определенного времени. Поэтому заказ на поставку подается с упреждением. Обозначим срок поставки (период упреждения) посредством . В зависимости от конкретных условий он может измеряться минутами, часами, днями, неделями.

Для того, чтобы заказанная партия поступила точно в требуемый момент, заказ следует подавать заранее, за время  до этого момента. В момент поступления объем запаса должен быть равен 0. Следовательно, в момент подачи заказа объем запаса на складе должен составлять величину K,

K =  n.

Эта величина K называется критическим объемом запаса.

Модель с дефицитом.

Рассмотрим модель, допускающую возможность существования периодов дефицита, который покрывается при последующих поставках, и штрафов за несвоевременную поставку.

Рис. 2. График циклов изменения запасов в модели с дефицитом

Пусть n – объем необходимой партии, а s – максимальный уровень запаса. В начале каждого периода предприятие делает запас равный s<n. Это означает, что в течение периода будет наблюдаться дефицит товара и поставки не будут осуществляться. Невыполненные поставки будут накапливаться до уровня n-s и будут удовлетворены, когда поступит следующая партия, размера n. Штраф, налагаемый на предприятие, зависит от размера дефицита и того, насколько была задержана поставка. Пусть штраф за единицу продукции в единицу времени составляет с₃. Тогда штраф за один период равен площади треугольника, лежащего под осью абсцисс, умноженной на с₃. Из подобия треугольников находим: , .

Общие затраты С определяются суммой затрат на поставку, хранение и штрафы:

.

Находим параметры, минимизирующие функцию затрат, приравнивая нулю производные по n и s, получаем:

(без учета стоимости запасов)

(без учета стоимости запасов)

Модель производственных запасов.

 Рассмотрим детерминированную модель с растянутой поставкой, постоянной интенсивностью спроса и отсутствием дефицита. Пополнение запаса в такой модели происходит не мгновенно и занимает некоторое время, которым нельзя пренебречь и считать его равным 0. Так, например, происходит пополнение внутрипроизводственных запасов, производимых на самом предприятии.

Некоторый промежуток времени T продукция интенсивно производится и поставляется на склад (но в то же время и потребляется на предприятии). Далее в течение промежутка T на оборудовании производится другая продукция, запас первой продукции не пополняется, он только потребляется. Через время T = T + T (цикл управления) на предприятии снова приступают к производству первой продукции и пополнению ее запасов.

. Рис. 3. График циклов изменения запасов в модели производственных запасов.

Постоянные затраты в такой ситуации связаны с переналадкой оборудования для запуска в производство партии изделий. Переменные затраты, как обычно, связаны с хранением.

Все время продукция потребляется с постоянной интенсивностью b. Обозначим посредством q интенсивность поставки, то есть объем поставки в единицу времени. Таким образом, реальная скорость пополнения склада в периоде T равна q - b. Эта разность определяет угол наклона прямой на промежутке T. На промежутке T угол наклона определяется величиной b.

Пусть

b - объем спроса в единицу времени (интенсивность спроса),

с₁ - фиксированные издержки, связанные с актом пополнения запаса,

с₂- издержки по хранению единицы запаса в течение единицы времени,

q- объем поставки в единицу времени (интенсивность поставки).

Тогда оптимальный размер партии .

Максимальный уровень запасов

Общие затраты на управление запасами в единицу времени

Методические рекомендации

Основная сложность при решении задач по УЗ состоит в правильном определении входных параметров задачи, поскольку не всегда в условии их числовые величины задаются в явном виде. При использовании формул модели УЗ необходимо внимательно следить за тем, чтобы все используемые в формуле числовые величины были согласованы по единицам измерения. Так, например, оба параметра s и  должны быть приведены к одним и тем же временных единицам (к дням, к сменам или к годам), параметры K и s должны измеряться в одних и тех же денежных единицах и т.д.