Контрольные вопросы

1. Дайте определение вероятности, сформулируйте законы сложения и умножения вероятностей, приведите примеры.

2. Что такое математическое ожидание? При каком условии математическое ожидание совпадает со средним арифметическим?

3. Что такое дисперсия? Что она характеризует?

4. Что такое функция распределения вероятностей случайной величины? Что она показывает?

5. Чему равна площадь под графиком функции распределения?

6. Запишите закон Гаусса. Как изменится график нормального закона при изменении среднеквадратического отклонения?

7. Как, пользуясь графиком функции Гаусса, найти вероятность того, что случайная величина отклоняется от математического ожидания не больше, чем на Δх?

8. Запишите закон распределения Максвелла по компонентам скоростей.

9. Как влияет на форму кривых распределения Максвелла температура?

10. Как изменятся форма кривых распределения частиц в механической модели и среднеквадратическое отклонение при увеличении количества рассеивающих центров (гвоздей)?

Используемая литература

[1] §§ 10.1, 10.2, 10.3, 10.4;

[2] §§ 35.1, 35.2, 35.3;

[3] §§ 5.42, 5.43, 5.44, 5.52;

[4] §§ 73,74;

[7] § 44.

Ла­бо­ра­тор­ная ра­бо­та 3-12

Определение коэффициента вязкости воздуха и средней длины свободного пробега молекул

Цель ра­бо­ты: оп­ре­де­лить ко­эф­фи­ци­ент вяз­ко­сти и дли­ну сво­бод­но­го про­бе­га мо­ле­кул воз­ду­ха.

Теоретическое введение

Те­п­ло­вое хао­ти­че­ское дви­же­ние мо­ле­кул га­за спо­соб­ст­ву­ет сгла­жи­ва­нию вся­ких раз­ли­чий ме­ж­ду рав­ны­ми час­тя­ми га­за. По­это­му, ес­ли мы име­ем слои га­за, дви­жу­щие­ся с раз­лич­ны­ми по ве­ли­чи­не ско­ро­стя­ми, то на упо­ря­до­чен­ное дви­же­ние сло­ев га­за с раз­лич­ны­ми ско­ро­стя­ми на­кла­ды­ва­ет­ся хао­ти­че­ское дви­же­ние мо­ле­кул. Мо­ле­ку­лы пе­ре­хо­дят из слоя, дви­жу­ще­го­ся со ско­ро­стью v₁, в слой, дви­жу­щий­ся со ско­ро­стью v₂, и об­рат­но, пе­ре­но­ся при этом им­пульс. Та­кой про­цесс пе­ре­но­са им­пуль­са, вы­рав­ни­ваю­щий ско­ро­сти от­дель­ных сло­ев, со­про­во­ж­да­ет­ся пре­вра­ще­ни­ем ки­не­ти­че­ской энер­гии упо­ря­до­чен­но­го дви­же­ния дан­но­го слоя в энер­гию те­п­ло­во­го дви­же­ния мо­ле­кул и на­зы­ва­ет­ся внут­рен­ним тре­ни­ем. За­кон Нью­то­на для внут­рен­не­го тре­ния имеет вид:

. (12.1)

З десь η – коэффициент вязкости, численно равный силе вязкого трения между двумя слоями единичной площади при единичном градиенте скоростей. Этот за­кон мож­но вы­вес­ти, ис­поль­зуя ос­нов­ные по­ло­же­ния мо­ле­ку­ляр­но-ки­не­ти­че­ской тео­рии. Пусть у нас име­ют­ся два слоя га­за, дви­жу­щие­ся со ско­ро­стя­ми v₁ и v₂ (рис.12.1). Выделим мысленно в среде какую-то площадку ΔS и напра­вим ось z ортогонально к ней. Две другие оси х и у параллельны площад­ке. Хаотичность движения молекул смоделируем следующим образом. Будем считать, что ровно 1/3 молекул движется вдоль оси х, 1/3 – вдоль оси у и 1/3 – вдоль оси z. Из молекул, ле­тящих параллельно z, ровно полови­на (1/6 часть полного числа молекул) движется в положительном направле­нии, и столько же – в отрицательном. Подсчитаем количество молекул N, пе­ресекающих площадку ΔS в единицу времени. Ясно, что молеку­лы, летящие вдоль осей х и у, площад­ку не пересекут. За время Δt молекулы преодолевают расстояние , где – средняя арифметическая скорость. По­тому на площадку попадет только 1/6 часть молекул из объема , то есть

, (12.2)

где – концентрация молекул.

Импульс, пе­ре­но­си­мый по­то­ком мо­ле­кул за время Δt через площадку ΔS в по­ло­жи­тель­ном на­прав­ле­нии оси z из слоя, дви­жу­ще­го­ся со ско­ро­стью v₁ (рис.12.2), раве­н:

, (12.3)

где – импульс одной молекулы, связанный с направленным движением молекул.

Импульс, переносимый в противоположном направлении, равен

. (12.4)

Полное из­ме­не­ние им­пуль­са слоя получим из (12.2-12.4):

. (12.5)

Последний раз перед попаданием на площадку ΔS молекулы сталкивались с другими молекулами на расстоянии длины свободного пробега λ от площадки. Поэтому к выделенной нами площади они подходят с теми импульсами частиц, которые сложились в точках с координатами (z–λ) и (z+λ) соответственно (z – координата площадки) и соответствуют скоростям направленного движения v₂ и v₁ (рис.12.2).

Поскольку длина свободного пробега λ мала, то раз­ность ско­ро­стей мож­но вы­ра­зить че­рез гра­ди­ент ско­ро­сти и дли­ну сво­бод­но­го про­бе­га мо­ле­кул :

. (12.6)

Учи­ты­вая, что nm₀= (плот­ность ве­ще­ст­ва), из (12.5) и (12.6) получим:

. (12.7)

По второму закону Ньютона из­ме­не­ние им­пуль­са те­ла равно им­пуль­су си­лы: , тогда

. (12.8)

Мы вывели закон Ньютона (12.1) для вязкости и получили выражение для коэффициента динамической вязкости:

. (12.9)

Теперь можно установить зависимость вязкости газа от температуры: поскольку средняя арифметическая скорость

, (12.10)

а длина свободного пробега молекул

, (12.11)

то при постоянной концентрации молекул (например, в изохорном процессе) вязкость с повышением температуры увеличивается пропорционально .

Получим выражение для расчёта средней длины свободного пробега молекул из (12.9) с учётом (12.10):

. (12.12)

Плотность газа выразим из уравнения Менделеева-Клапейрона : , тогда из (12.12): , или

, (12.13)

где p=10⁵ Па – атмосферное давление; μ=0.029 кг/моль – молярная масса воздуха; R – универсальная газовая постоянная.