2.2 Метод гілок і меж
Подібно до інших задач комбінаторної оптимізації, задача пакування рюкзака може бути розв'язана методом гілок і меж. Застосування методу гілок і меж до розв'язання задачі пакування рюкзака вперше запропонував Колесар в 1967 році. Запропонований Мартело та Тозом алгоритм [4] набув широкого поширення. Цей алгоритм найефективніший та найпростіший для реалізації у порівнянні з попередніми алгоритмами.Перевагою цього методу є низькі вимоги до обсягів необхідної пам'яті. Загальна ідея методу може бути описана на прикладі пошуку мінімуму і максимуму функції f(x) на множині допустимих значень х. Функція f і множина х можуть бути довільної природи. Для методу гілок і меж необхідні дві процедури: розгалуження і знаходження оцінок (меж). Процедура розгалуження полягає в розбитті області допустимих рішень на підобласті менших розмірів. Процедуру можна рекурсивно застосовувати до підобластей. Отримані підобласті утворюють дерево, зване деревом пошуку або деревом гілок і меж. Вузлами цього дерева є побудовані підобласті. Процедура знаходження оцінок полягає в пошуку верхніх і нижніх меж для оптимального значення на підобласті допустимих рішень. В основі методу гілок і меж лежить наступна ідея (для задачі мінімізації): якщо нижня межа для підобласті А дерева пошуку більша, ніж верхня межа будь-якої раніше переглянутої підобласті B, то А може бути виключена з подальшого розгляду (правило відсіювання). Зазвичай, мінімальну з отриманих верхніх оцінок записують в глобальну змінну m, а будь-який вузол дерева пошуку, нижня межа якого більше значення m, може бути виключений з подальшого розгляду. Якщо нижня межа для вузла дерева збігається з верхньою межею, то це значення є мінімумом функції і досягається на відповідній підобласті.
Хід роботи.
Обрати об’єкт складання чи завантаження та сформувати для нього набір елементів, що відрізняються хоча би двома якостями.
Виконати розв’язання задачі пакування рюкзака на основі «жадібного алгоритму».
Виконати розв’язання задачі пакування рюкзака на основі методу динамічного програмування.
Проілюструвати та порівняти отримані розв’язки.
Зробити висновки.
Література
Matthias Ehrgott Multicriteria Optimization, Springer , 2005.
Michail G. Lagoudakis, The 0-1 Knapsack Problem - An Introductory Survey, 1996.
Garey M. R., Johnson D. S., Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-completeness, W. H. Freeman and Comp., San Francisco, 1979.
Hans Kellerer, Ulright Pferschy and David Pisinger, Knapsack Problems, Springer, 2004.