10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Неоднородное линейное уравнение имеет вид

. (7)

Теорема. Общее решение неоднородного линейного уравнения (7) равно сумме какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (1) , где – общее решение однородного уравнения (1), а – частное решение данного уравнения.

Для уравнений (7) с правой частью , где , частное решение имеет вид

, (8)

где Q_m(x) – многочлен степени m. Число s = 0, если λ – не корень характеристического уравнения (2), а если λ – корень, то s равно кратности этого корня. Чтобы найти коэффициенты многочлена Q_m(x), надо решение (8) подставить в уравнение (7) и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях уравнения.

Для уравнений (7) с правой частью частное решение ищем в виде

, (9)

где s = 0, если α + βі не корень характеристического уравнения (2), и s равно кратности корня α + βі в противном случае. R_m(x) и T_m(x) – многочлены степени m, равной наибольшей из степеней многочленов P и Q. Чтобы найти коэффициенты многочленов R_m(x) и T_m(x), надо решение (9) подставить в уравнение (7) и приравнять коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях уравнения.

Если правая часть уравнения (7) равна сумме нескольких функций вида (8) и (9), то частное решение отыскивается по следующему правилу: частное решение линейного уравнения с правой частью f(x) = f₁(x) + … + f_k(x) равно сумме частных решений уравнений с той же левой частью и правыми частями f₁(x), …, f_k(x).

Общее решение неоднородного линейного уравнения (7) во всех случаях равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения (1) .

Неоднородное линейное уравнение (7) с любой правой частью решается методом вариации постоянных. Пусть найдено общее решение соответствующего однородного уравнения (1)

у = С₁у₁ + С₂у₂ + … + С_ny_n. Тогда общее решение уравнения (7) ищем в виде

у = С₁(х) у₁ + С₂(х) у₂ + … + С_n(x) y_n. Функции C_k(x) определяются из системы

(10)