Дифференциальные уравнения n-го порядка, допускающие понижение порядка
1. Уравнение вида F(x, y(n))=0.
Рассмотрим несколько случаев уравнения
.
(1)
а) Если уравнение (1) разрешимо относительно у(n), то оно решается n-кратным интегрированием. Пусть
у(n) = φ(х), (2)
тогда
.
б) Если уравнение (1) разрешимо относительно х:
х = f(y(n)), (3)
то решение находим подстановкой
y(n) = t. (4)
При
этом x
= f(t).
Из (4) имеем
,
откуда
.
Далее поступаем точно также, пока не
найдем у через параметр t.
Тогда
– общее решение уравнения (3) в
параметрической форме.
в)
Если уравнение (1) не разрешимо ни
относительно х, ни относительно у(n),
то нужно выразить обе переменные через
некоторый параметр t:
.
Находим (n
– 1)-ую производную от функции у следующим
образом:
.
Таким
образом поступаем до тех пор, пока не
найдем функцию
.
Следовательно, решение получаем в
параметрической форме.
2. Уравнение вида F(y(n), y(n-1))=0.
Рассмотрим три случая уравнений вида
. (5)
а) Уравнение (5) разрешимо относительно у(n):
. (6)
Делаем замену
y(n-1) = t, (7)
тогда
и уравнение (6) принимает вид
или
.
Интегрируя, получим
. (8)
Если соотношение (8) разрешимо относительно t, то подставив значение t в (7), придем к случаю (2). Если же соотношение (8) не разрешимо относительно t, то у можно найти последовательным интегрированием уравнения (7):
.
И
так далее, пока не найдем
.
Таким образом, получим общий интеграл
уравнения в параметрической форме
б) Пусть уравнение (5) разрешимо относительно у(n – 1):
. (9)
Обозначим y(n) = t, тогда
.
(10)
Продифференцируем (10) по х и заменим левую часть на t:
.
Далее
интегрируем (10), заменяя каждый раз dx
на
,
пока не получим у.
в) Иногда удается найти параметрическое изображение уравнения (5) в виде
(11)
Воспользуемся
уравнением
и, принимая во внимание (11), имеем
.
Откуда
.
Далее постепенно понижаем порядок
производной в уравнении (11), заменяя
,
пока не получим у, выраженный через
параметр t
и произвольные постоянные.
3. Уравнение вида F(y(n), y(n-2))=0.
Возможны три случая уравнений вида
.
(12)
а) Уравнение (12) разрешимо относительно у(n):
.
(13)
Делаем
замену y(n-2)
= t,
тогда
и уравнение (12) принимает вид
.
Умножим последнее уравнение на
:
,
откуда можем записать
.
Интегрируем и получаем
.
Из этого соотношения имеем
.
Далее понижаем порядок уравнения y(n-2)
= t
так, как это делали в предыдущих случаях.
б) Уравнение (12) разрешимо относительно у(n – 2):
.
(14)
Обозначим y(n) = t, тогда
.
(15)
Вычислим 
.
Интегрируя, найдем
.
(16)
Выражения (15) и (16) задают параметрическое изображение уравнения, аналогичное (11).
в)
Если уравнение (12) представимо в
параметрической форме
,
то поступаем также, как в предыдущем
случае: находим
через параметр t:
.
Откуда и определяем . Дальнейшие выкладки такие же, как в предыдущем случае.