Однородные уравнении и приводящиеся к однородным.

Функция f(x, у)·называется однородной функцией k-го измерения, если при любом λ выполняется равенство . В частности, функция f(x, у)·называется однородной функцией 0-го измерения, если .

Уравнение вида

(3)

будет однородным, если функции M(x, y) и N(x, y) однородные одного и того же измерения.

Уравнение, разрешенное относительно производной

, (4)

является однородным, если функция f(x, у) –·однородная функция 0-го измерения.

Однородные уравнения могут быть записаны в виде .

Уравнения приводящие к однородным.

1. Если

Тогда делаем замену

Следовательно:

2. Если же

Тогда делаем другую замену:

Следовательно:

- это уравнение с разделяющими переменными.

Линейные уравнения и приводящие к линейным.

Линейным уравнением первого порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной.

Канонический вид линейного уравнения:

. (7)

Если в (7) правая часть q(x) ≡ 0, то есть уравнение имеет вид

, (8)

то уравнение называется линейным однородным уравнением (ЛОДУ). В противном случае оно называется линейным неоднородным уравнением (ЛНДУ).

Разделив переменные в уравнении (8), получим общее решение ЛОДУ

. (9)

Существует несколько способов решения ЛНДУ. Рассмотрим эти способы.

1) Метод вариации произвольной постоянной.

Будем искать общее решение ЛНДУ (1.7) в виде (1.9), полагая С = С(х), то есть . Выполнив все необходимые выкладки, придем к общему решению

. (10)

2) Метод введения произвольных функций (метод Эйлера).

Ищем общее решение уравнения (7) в виде произведения двух неизвестных функций y = u·v. Одну из этих функций выбираем произвольно, а другую так, чтобы их произведение было решением. Выполняем подстановку в уравнение . Группируем второй и третий члены (можно первый и третий) уравнения:

. (11)

Выберем функцию v так, чтобы выражение в скобках превратилось в нуль. Тогда получаем систему двух уравнений:

(12)

Из первого уравнения системы (12) (уравнение с разделяющимися переменными) находим функцию v:

.

Выбор v был произвольным, поэтому произвольную постоянную можем считать равной единице. Зная v, из второго уравнения системы (12) найдем функцию u:

.

Таким образом, y = u·v = ( ). Снова получили формулу (10).

3) Метод интегрирующего множителя.

Интегрирующий множитель линейного уравнения (7) имеет вид: . Умножим уравнение (7) на µ(х): . Откуда . Интегрируя, получим: или y = ( ). Снова получили формулу (10).