2. Статистические методы анализа и обработки

экспериментальных данных

1. Интервальная оценка параметров

1. Приближенные методы построения доверительных интервалов

В ряде задач требуется не только найти для параметра подходящее численное значение, но и оценить его точность и надежность. Требуется знать – к каким ошибкам может привести замена неизвестного параметра его точечной оценкой (точечная оценка - оценка, которая определяется одним числом) и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы.

Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений, когда точечная оценка в значительной мере случайна и приближенная замена на может привести к серьезным ошибкам.

Чтобы дать представление о точности и надежности оценки , в математической статистике пользуются так называемыми доверительными интервалами и доверительными вероятностями.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.

Все оценки параметров распределения выборки носят случайный характер и от параметров генеральной совокупности могут сильно отличаться. Нас интересует интервал J , который с заданной надежностью накрывал бы неслучайное значение параметра генеральной совокупности , такой интервал называется доверительным. Понятия надежность и доверительная вероятность равнозначны. Обычно величину доверительной вероятности принимают в пределах от 0.95 до 0.99.

Нахождение доверительных интервалов основано на том, что математическое ожидание, дисперсия и сама оценка распределена по нормальному закону. Как при заданной надежности (доверительной вероятности) найти интервал J , чтобы этим интервалом накрыть оценку параметра ? В данном случае – выступает как мера точности. Приближенный метод нахождения интервала заключается в том, что в выражении для неизвестные параметры заменяют их точечными оценками. При сравнительно большом числе опытов n (порядка 20-30) этот прием обычно дает удовлетворительные по точности результаты.

Вероятность того, что оценка не превысит интервал – подчиняется нормальному закону:

,

отсюда получим следующее выражение:

,

где – точность оценки;

– функция Лапласа.

Это выражение позволит рассчитать точность оценки

,

где – среднеквадратичное отклонение оценки параметра ;

– распределение Лапласа (определяется в зависимости от величины доверительной вероятности (таблица 2.1)).

Таблица 2.1 – Распределение Лапласа

	0,9	0,95	0,975	0,99
	1,643	1,960	2,247	2,576

В качестве примера рассмотрим задачу о доверительном интервале для математического ожидания.

Точность оценки определим по формуле:

,

с другой стороны среднеквадратическое отклонение оценки математического ожидания равно

,

отсюда получим количество опытов

.

Пример № 1. В результате равноточных измерений получили ошибку измерения , а . Сколько необходимо произвести опытов, чтобы обеспечить заданную точность и надежность?

Зададим величину доверительной вероятности тогда .

Если выбрать доверительный интервал секунд, то по формуле получим:

опытов.

Если выбрать доверительный интервал секунд, то по формуле получим:

опытов.

Вывод: С увеличением доверительного интервала, количество опытов уменьшается, чтобы интервалом накрыть нашу оценку.

Пример № 2. Построить доверительный интервал J при доверительной вероятности и , если м, а м.

Из таблицы 2.1

и ; ; м; ; м;

J , J .

2.1.2 Точные методы построения доверительных интервалов

(применительно к математическому ожиданию и дисперсии)

До сих пор при определении доверительных интервалов пользовались статистикой нормального закона распределения.

.

Нормальный закон дает хорошие результаты при большом количестве выборки n. При малом количестве выборки n лучше пользоваться статистикой Стьюдента.

Формула Стьюдента очень сложная и имеет вид:

,

где – Гамма функция.

Для удобства работы с функцией Стьюдента вводится новая переменная

,

где – распределение по закону Стьюдента (представленное в виде таблицы приложения Г);

– оценка математического ожидания;

– оценка дисперсии распределения.

Тогда в новых переменных функцию распределения запишем в виде:

,

отсюда

,

и ошибка будет равна

Точный метод основан на использовании закона распределения Стьюдента.