3. Проверка гипотезы о равенстве среднеквадратичной оценки выборочной оценки самой среднеквадратичной генеральной

совокупности

Имеем выборку объёма n из генеральной совокупности , тогда оценка:

.

Известно генеральной совокупности. Необходимо проверить гипотезу . Для оценки гипотезы вводим статистику . Считаем, что переменная принадлежит (хи-квадрат) распределению с n – 1 степенью свободы

.

Проверка гипотезы осуществляется в следующем порядке.

Берется односторонний критерий и по заданной доверительной вероятности  и n по таблице  ² определяется .

Затем сравнивается опытное значение . Если попало в критическую область, то гипотезу Н₀ отвергаем. Если (попали в левую часть характеристики), то делают вывод: опытные данные не противоречат гипотезе Н₀.

Если нет конкурирующей гипотезы, то гипотеза просто принимается.

2.4 Оценка равенства дисперсий двух выборок

Имеем две выборки объёмом n и m.

Оценки дисперсий будут иметь вид

Выдвигается гипотеза о равенстве дисперсий .

Вводим статистику

Рассмотрим отношение

.

Данное отношение дисперсии принадлежит распределению Фишера со степенями свободы n – 1 и m – 1. Рассмотрим на примере односторонний критерий.

Пример № 5. Имеем две выборки n₁ = 11 и n₂ = 14. Найденные оценки дисперсии равны и . Необходимо при уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу

По заданному найдем F критическое для n – 1 и m – 1. Из таблицы Фишера F_кр(10,13) = 2,67 определяем:

,

следовательно , поэтому опытные данные не противоречат гипотезе Н₀. Возьмем уровень доверительной вероятности = 0,1. По таблице Фишера (приложение В) F (10, 13) = 2,14. Следовательно, гипотеза Н₀ принимается (рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 – Распределение Фишера для одностороннего критерия

Рассмотрим двусторонний критерий. Для этого α = 0,1 делим пополам. Для двустороннего критерия выдвигаем две гипотезы

Если оценка попадает внутрь интервала, то исходные данные не противоречат гипотезе Н₀.

Для двустороннего критерия мы имеем следующую статистику Фишера.

Рисунок 2.8 – Распределение Фишера для двустороннего критерия

По таблице Фишера определим:

,

Поэтому

,

– левый интервал.

Получили двусторонний интервал меньше 0,37 и больше 2,67. Наша оценка находится в интервале принятия решения.

2.5 Оценка однородности дисперсии

Оценка однородности дисперсии это оценка принадлежности дисперсии одной генеральной совокупности. Данная оценка производится по критерию Кохрена. Имеется К выборок . Несмотря на то, что все дисперсии различны, они все из одной выборки. Необходимо оценить однородность дисперсий. Кохрен ввел статистику G.

.

Величина G - имеет распределение Кохрена (приложение A). Для применения распределения Кохрена необходимо, чтобы выборки по всем дисперсиям были одинаковы.

По заданному уровню значимости находим G_кр. Рассчитываем опытное значение. Если - то гипотеза отвергается.

Пример № 6. Имеем четыре независимых выборки (объемом n = 17) из нормальной совокупности При доверительной вероятности проверить гипотезу однородности дисперсии

.

По таблице Кохрена для числа степеней свободы n = 17 – 1 = 16 и количества в выборке N = 4 дисперсий находим G_кр = 0,4366. Так как, , то гипотеза об однородности принимается.