1.5. Общая характеристика методов исо

Традиционная модель задачи исследования операций содержит переменные, ограничения, целевые функции и постановку задачи: найти решение, которое максимизирует или минимизирует значение целевых функций при заданных ограничениях.

Среди большого многообразия задач, решение которых исследуется в рамках исследования операций, наибольшее распространение получили следующие две постановки задачи:

а) задача математического программирования

(D, f): f(x)  max (min), (5.1)

q(x)  b

h(x) = d

x  X  Eⁿ

где x = (x₁, ..., x_n)^T – вектор оптимизируемых переменных, f, q, h – вектор – функции аргумента x, значение которых определены на некотором, в общем случае - открытом подмножестве X п – мерного евклидова пространства Eⁿ, D – множество возможных решений задачи (область допустимых решений), заданное ограничениями, b, d – заданные вектор – параметры;

б) задача оптимального управления

J(u) = (x,u,t) dt + F(x(t₁), t₁ )  max (min), (5.2)

u  U

dx(t)/dt = f(x, u, t)

t₀  t  t₁

где u = (u₁, ..., u_m)^T – вектор управления, J(u) – скалярный или векторный функционал, характеризующий качество управления динамическим объектом, который задан системой дифференциальных уравнений

dx(t)/dt = f(x, u, t), (5.3)

x = (x₁,..., x_n)^T – вектор состояния объекта (его выход),  и f – заданные вектор – функции своих аргументов, x₀ = x(t₀) и x_t1 = x(t₁) – начальное и конечное состояния объекта, X и U – заданные множества (функциональные пространства) допустимых значений векторов x и u соответственно, F(x(t₁), t₁) – заданная функция конечного состояния (x(t₁), t₁ ).

Задачи (5.1) и (5.2) служат общими правилами выбора оптимального решения, которое удовлетворяет заданным ограничениям (пространственным и/или временным) и доставляет экстремум (максимум или минимум) целевой функции (как в (5.1)) или целевому функционалу (как в (5.2)).

При дискретном времени задача (5.2) сводится к задаче (5.1) и имеет вид

J({u^к}) = _к(х^к, u^k)+F(x₁, t₁) , (5.4)

{u^k}  U

x^k+1 = _к (x^k ,u^k)

k = 0, 1, …, N – 1

Форма этой задачи полностью совпадает с задачей (5.2), в которой максимизация или минимизация также проводится по вектору управления {u^k}  U, который при заданной функции φ_к(х^k, и^k) однозначно определяет переменные {x^k}  X. Обратный переход к задаче (5.2), очевидно, можно осуществить, стремив N к бесконечности, что эквивалентно условию  = ( t₁ - t₀)/N  0. Благодаря этому переходу непрерывную задачу управления (5.2) называют задачей оптимизации в бесконечномерном пространстве.

Задача управления в форме (5.2) заключается в выборе такого допустимого вектора u^*(t), который обеспечит переход объекта из начального состояния x₀ = x(t₀) в целевое состояние x₁ = x(t₁) в момент времени > t₀, и при этом функционал J(u(t)) (критерий качества управления) достигнет своего максимального или минимального значения.

В теории оптимального управления уравнение (5.3) называется уравнением движения системы или ее траекторией для промежутка времени t₀ , а задача (5.2) называется задачей Больца. Когда в составе целевой функции задачи слагаемое F(x₁, t₁) отсутствует, она называется задачей Лагранжа, а когда целевой функционал содержит только функцию , задача носит название задачи Майера. Все эти модификации в действительности эквивалентны друг другу. Так, например, определив дополнительную переменную (фазовую координату) x_n+1(t) в виде

dx_n+1(t)/dt =(x,u,t), x_n+1(t₀) = 0, (5.5)

целевую функцию задачи (5.2) можно представить в виде

J(u) = x_n+1(t₁) + F(x(t₁), t₁ ), (5.6)

что уже соответствует постановке задачи Майера.

Если в задачах (5.1) – (5.4) целевые функции непрерывны, а области допустимых решений ограничены и замкнуты, то, согласно теореме Вейерштрасса, оптимальное решение существует (достаточное условие оптимальности).

Рассмотрим теперь традиционные классы методов исследования операций, с помощью которых решаются эти и им подобные задачи.

а) Линейное программирование.

Если в задачи (5.1) функции f, q и h линейны, а переменные удовлетворяют дополнительному условию неотрицательности, т. е. x_j  0,  j, мы имеем дело с задачей линейного программирования, решение которой изучается в разделе 2. Для этого класса задач характерно, что если множество D не пусто, то оно выпукло и либо ограничено по расстоянию, либо не ограничено. В первом случае целевая функция задачи принимает на D и свое наименьшее, и свое наибольшее значения. При непрерывных переменных задача решается с помощью симплекс-метода. Если же часть переменных целочисленные, применяется метод ветвей и границ или метод отсечений (алгоритмы Гомори).

б) Нелинейное программирование.

В нелинейном программировании рассматриваются методы решения задачи (5.1), которая содержит нелинейные функции. Здесь центральное место занимают метод Лагранжа и соответствующие теоремы двойственности (в частности, теорема Куна – Таккера), которые изучаются в разделе 3. Если множество решений D и целевая функция f(x) задачи (5.1) выпуклые, она называется задачей выпуклого программирования; ее локальные и глобальные решения совпадают. При строгой выпуклости задача может иметь единственное решение. Распространенным представителем этого класса задач является задача квадратичного программирования, целевая функция которой является квадратичной функцией, а ограничения линейные, как в задаче линейного программирования.

в) Динамическое программирование.

Динамическое программирование (ДП), наряду с принципом максимума Понтрягина, является, одним из двух мощных современных методов решения задачи (5.3).

Оно успешно применяется к задаче (5.1), когда функции f, g и h имеют специфическую структуру, допускающую представление в виде суммы или произведения более простых функций, каждая из которых зависит только от «своей» переменной x_j, j = 1,..., n. Функции с такими свойствами называются сепарабельными. В этих случаях решение исходной «статической» задачи (5.1) сводится к решению семейства более простых, но взаимосвязанных задач. Этот процесс называется динамизацией и характерен так называемым многошаговым (или многоэтапным) процессам, которые изучаются в разделе 4. В этом же разделе будет рассмотрена возможность динамизации адачи (5.3). Лежащий в основе ДП принцип оптимальности приводит к функциональному уравнению динамического программирования (ФУДП), которое и порождает многошаговый процесс решения. В ряде задач ФУДП успешно сочетается с методом Лагранжа, хотя проблема размерности остается, как ограничительный фактор при организации вычислительного процесса.

г) Стохастическое программирование.

Когда в задачах типа (5.1) и (5.2) присутствуют случайные факторы, представляющие случайные события, переменные и процессы, мы имеем дело с задачей стохастического программирования. Такие задачи требуют для своего решения специфические приемы и подходы, которые имеют дело с вероятностными характеристиками присутствующих в модели случайных переменных и процессов (их математические ожидания, дисперсии и т. д.).

Отдельные математические модели (аналитические и имитационные), реализующие стохастический (или вероятностный) подход анализа и принятия решения, изучаются в разделах, посвященных системам массового обслуживания, игровым моделям, марковским процессам принятия решений и управления, имитационному моделированию.

д) Системы массового обслуживания.

Теория систем массового обслуживания имеет дело с моделями, с помощью которых описываются потоки заявок и процессы их обслуживания. При определенных предположениях относительно входного потока заявок (стационарность, ординарность, отсутствие последействия) процессы обслуживания можно описать аналитически. В общем случае прибегают к имитационному моделированию на основе метода статистического моделирования, что позволяет исследовать объекты произвольной структуры и сложности.

е) Теория игр.

С помощью игровых моделей исследуются конфликтные процессы и ситуации, возникающие при взаимодействии различных активных сторон (фирм, стран и т. д.). Особое место в теории игр занимают стратегические и статистические игры, получившие широкое распространение для моделирования и исследования конкуренции, межгосударственных отношений, взаимодействия человека с природой.

ж) Теория принятия решений.

Несмотря на то, что принятие решений присутствует во всех моделях и задачах исследования операций, различные его подходы, модели и аналитические рекомендации составляют отдельную теорию.

Особый теоретический и практический интерес представляют модели и методы принятия решений при определенности, неопределенности, риске, противостоянии, а также при многих критериях. Руководящие правила и рекомендации этой теории широко применяются в организациях при разработке и реализации плановых, проектных и управленческих решений.

з) Имитационное моделирование.

Исследование сложных процессов и систем, которые подвержены воздействию случайных факторов внутреннего или внешнего происхождения, аналитическими средствами и алгоритмами не представляется возможным. Для таких задач в помощь приходит имитационное моделирование, которое позволяет с помощью специальных моделирующих алгоритмов воспроизвести на ЭВМ процесс функционирования сколь угодно сложных объектов, путем моделирования отдельных их элементов с учетом пространственных связей между ними и логической последовательности функционирования во времени.

Особенно плодотворно техника имитационного моделирования применяется в тех случаях, когда роль случайных факторов является доминирующей. В этом случае с помощью специальных программных датчиков генерируются базовые последовательности так называемых псевдослучайных величин, которые затем преобразуются в последовательности реализаций других случайных факторов, вероятностные характеристики которых заранее известны. И так как результаты моделирования всегда носят случайный характер, они обрабатываются методами теории вероятностей и математической статистики.

Машинная имитация и машинные имитационные эксперименты служат мощным средством практически во всех научных исследованиях и разработках. С помощью специализированных языков имитационного моделирования GPSS, SIMULA, SLENG, BOSS, SIMSCRIPT, SLAM, GASP, а также имитационных систем ARENA, ReThink , G2 можно проводить исследования, направленные на создание современных систем и их компонентов.

Особое место среди методов системного анализа, исследования операций и принятия решений занимают неформальные (или эвристические) методы и процедуры.

Особенно плодотворно они стали применяться на этапах структуризации сложной проблемы, выбора и обоснования целей и критериев, экспертизы сложных проектов, таких как ассигнование фундаментальных и прикладных исследований и разработок, постановки многокритериальных задач и неформального анализа компромиссных решений и т. д.

Важным приложением неформальных методов и процедур стали диалоговые модели и методы, обеспечивающие творческое взаимодействие человека и ЭВМ на всех этапах решения научно-технических и деловых задач. Эти вопросы также будут обсуждаться в разделе, посвященном теории принятия решений.

31