Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Задание 1. Ознакомьтесь с соответствующим разделом справочного файла и Help.

Задание 2. Структурируйте рабочий лист для выполнения заданий по этой теме.

Задание 3. Составить и решить дифференциальное уравнение движения шарика массы m, колеблющегося вдоль OX под действием квазиупругой силы , силы вязкого трения и силы тяжести (w - частота собственных незатухающих колебаний, k - коэффициент затухания, v - скорость частицы). Начальные условия: x(0)=A; v(0)=0. Построить график решения, приняв [A=5, m=1, w=10, k=1/4, g=1000]. Сравнить с графиком решения той же задачи при k=0. Найти частоту затухающих колебаний. Объяснить графики, сделать выводы.

Задание 4. Составить и решить систему дифференциальных уравнений движения снаряда, выпущенного под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью 400 м/с, пренебрегая сопротивлением воздуха. Получить уравнение его траектории. Построить графики изменения координат со временем и траекторию. Найти время, дальность и наибольшую высоту его полёта - аналитическим решением и графически.

Задание 5. Составить и решить систему дифференциальных уравнений движения снаряда, выпущенного под углом 30 градусов к горизонту с начальной скоростью v₀ = 400 м/с, учитывая сопротивлением воздуха в виде силы Стокса (v – мгновенная скорость снаряда, k –коэффициент вязкого трения). Получить уравнение его траектории; построить графики изменения координат со временем и траекторию. Найти время, дальность и наибольшую высоту его полёта - аналитическим решением и графически. Сравнить с результатами Задания 4.

Тема 9. Дифференциальные уравнения в частных производных.

Задание 1. Ознакомьтесь с соответствующим разделом справочного файла и Help.

Задание 2. Структурируйте рабочий лист для выполнения заданий по этой теме.

Задание 3.

Стационарное уравнение Шредингера для волновой функции (x, y, z), описывающее квантовую частицу в 3-мер- ном потенциальном ящике с рёбрами L_x , L_y , L_я и с бесконечно высокими и бесконечно толстыми стенками приводится к виду:

, (1)

где константа

(2)

( - постоянная Планка, m – масса частицы, E – её энергия).

3.1. Методом разделения переменных редуцировать уравнение (1) к системе обыкновенных ДУ.

3.2. Найти решения этих уравнений при граничных условиях обращения в нуль на всех стенках ящика, что возможно только при некотором дискретном спектре значений констант k_x , k_y , k_я , и найти эти спектры значений.

3.3. Используя результаты п. 2, построить общее решение уравнения (1), зависящее от трёх значений квантовых чисел n_x , n_y , n_я , появляющихся при нахождении решений в п. 2.

3.4. Определить спектр возможных значений константы k² и энергии частицы Е, определяемый набором трёх квантовых чисел n_x , n_y , n_я .

Примечание: Остающаяся в решении, полученном в п. 3, неопределённая константа в квантовой механике доопределяется из условия нормировки:

.

Задание 4.

4.1. Для того же уравнения (1) написать команду решения pdsolve по простейшему образцу, данному в п. 18.2 Пособия; сравнить исполненный программой результат с Вашим результатом, полученным в п. 3.1 и 3.2.

4.2. Для того же уравнения написать команду pdsolve по развёрнутому образцу п. 18.2 Пособия с дополнительными параметрами (см. также Help) и получить решение в общем виде.

4.3. Все выражения в исполненном программой результате преобразовать в тригонометрические функции.

4.4. На решение в тригонометрической форме наложить граничные условия, указанные в п. 3.2. Определить постоянные интегрирования _С и спектры значений вводимых программой констант вида _с.

4.5. Используя результаты п. 4, Построить общее решение уравнения (1) и сравнить с результатом п. 3.3.