5 Елементи механіки суцільних середовищ

5.1 Напруження і деформації суцільних середовищ

Суцільне середовище – це гіпотетичне середовище, яке може під дією навантажень як завгодно змінювати свою форму (деформуватись), не втрачаючи при цьому суцільності.

Методи механіки суцільних середовищ широко застосовують в інженерній практиці для розрахунків і прогнозування напруженого стану та деформацій твердих тіл, течій рідин, газів та їх сумішей і т. ін.

Зовнішні сили, які діють на тіло (середовище), що розглядається, поділяються на поверхневі та об’ємні.

Поверхневі сили виникають внаслідок контакту тіла із зовнішнім середовищем і всередині суцільного середовища відповідно до третього закону Ньютона врівноважуються. Це сили тиску, тертя, взаємодії і т. ін. Вони можуть бути розподіленими і зосередженими.

Об’ємні сили – це результат дії на середовище просторового векторного поля. Об’ємні сили неперервно розподілені у середовищі. Це сили інерції, гравітаційні сили і т. ін.

При дії зовнішніх сил міх окремими частинками суцільного середовища виникають сили взаємодії, які називаються внутрішніми силами. Вони визначають напружений стан суцільного середовища, який характеризується дев’ятьма компонентами напружень (рис 5.1).

Напруження, перпендикулярні до граней куба, називаються нормальними і позначаються , а ті, що діють в площині грані – дотичними і позначаються τ з відповідними індексами.

Ці напруження, складені у формі матриці, визначають тензор напружень.

, (5.1)

Тензор напружень є симетричним відносно головної діагоналі.

У кожній точці суцільного середовища існують такі взаємно перпендикулярні площадки, на яких дотичні напруження д

Рисунок 5.1 − Компоненти напружень у декартовій системі координат

орівнюють нулю. Напрями нормалей до цих площадок утворюють головні напрями тензора напружень і залежать від вихідної системи координат.

Відповідні напруження є головними нормальними напруженнями, які утворюють тензор

.

У перерізах, що порівну розділяють кути між головними площинами і проходять через головні осі 1, 2 та 3 (рис. 5.2), дотичні напруження досягають екстремальних значень і називаються головними дотичними напруженнями:

; : .

Рисунок 5.2 − Головні нормальні і дотичні напруження

Головні нормальні напруження _і (і=1,2,3) є коренями кубічного рівняння

або

. (5.2)

Оскільки нормальні напруження не залежать від вибору координатної сітки, то, очевидно, коефіцієнти кубічного рівняння (5.2) не залежать від вибору системи координат. Ці коефіцієнти, які записані на головних осях

називаються відповідно лінійним (першим), квадратичним (другим), і кубічним (третім ) інваріантами тензора напружень.

Величина називається середнім, або гідростатичним тиском у даній точці.

Тензор напружень можна представити у вигляді суми

, (5.3)

де Т₁ - одиничний тензор;

– кульовий (сферичний) тензор, що відповідає середньому тиску в даній точці;

– тензор, що визначає дотичні напруження в даній точці і називається девіатором напружень.

Девіатор напружень характеризується головними напрямками, які збігаються з напрямками тензора напружень, а головні значення напружень девіатора дорівнюють .

Інваріанти девіатора напружень визначаються за системою

(5.4)

Величина

(5.5)

називається інтенсивністю дотичних напружень.

Деформації суцільного середовища

Нехай в процесі деформації середовища його точки одержали переміщення u з компонентами u_x, u_y, u_z (рис. 5.3).

Д

Рисунок 5.3 − Деформація точки суцільного середовища

еформація середовища характеризується симетричним тензором деформацій

Складові Т_ для малих деформацій визначаються за допомогою рівнянь Коші:

(5.6)

Величини _хх, _yy, _zz характеризують відносні деформації видовжень ребер елементарного паралелепіпеда, а _xy, _xz, _yz – деформації їх зсуву (рис 5.4).

Рис. 5.4 − Схема деформації грані елементарного паралелепіпеда в площині, паралельній yOz

Тензор деформації, як будь-який симетричний тензор, приводиться до головних осей

,

_.де ₁, _2, ₃ – головні деформації положення.

Це означає, що будь-яка деформація може здійснитися простими розтягами в трьох взаємно перпендикулярних напрямках.

Різниці ₁=₁-₂ ; ₂=₂-₃; ₃=₁-₃ називаються головними зсувами.

Інваріанти тензора деформацій утворюються так само, як і для тензора напружень:

Тензор деформації може бути представлений у вигляді

, (5.7)

де – кульовий (сферичний) тензор, який визначає об’ємну деформацію ( ).

Девіатор деформації, який характеризує зміну форми елемента середовища через зсуви, має вигляд

Інваріанти девіатора деформації відповідно дорівнюють

(5.8)

Інтенсивністю деформацій зсуву називається величина

(5.9)

Нехай частинки середовища рухаються зі швидкістю v, складові якої відповідно дорівнюють:

Протягом часу dt середовище деформується на величину, що визначається переміщеннями v_xdt, v_ydt та v_zdt. Компоненти цієї деформації, що вираховуються з допомогою рівняння Коші (5.6), мають загальний множник dt , розділивши на який, одержимо компоненти тензора швидкостей деформацій

, (5.10)

де

(5.11)

Величини _xx, _yy, _zz характеризують швидкості відносних видовжень у напрямках координатних осей, а _xy, _yz, _xz – кутові швидкості перекошування прямих спочатку кутів. Швидкість відносного об’ємного розширення дорівнює

. (5.12)

Крім швидкості деформації, елементарний об’єм зазнає жорсткого зміщення, що визначається поступальною швидкістю v та обертанням з кутовою швидкістю

.

Інваріанти тензора швидкостей деформацій можна одержати так же, як і для деформацій. Наприклад, інтенсивність швидкостей деформацій зсуву

.(5.13)