10.4 Втискування плоского циліндричного індентора

П

a – розрахункова схема;

б – розподіл контактного тиску і області напружень

Рисунок 10.5 − Втискування плоского циліндричного індентора (штампа)

лоский циліндричний штамп втискується в пружний на півпростір силою Р, що діє по осі Z (рис. 10.5).

Задача осесиметрична, тому її розв’язок дається в циліндричних координатах (за­дача Чаплигіна–Садовського).

Розподіл тиску по площі круга описується рівнянням , (10.6)

(а – радіус штампа).

Проаналізувавши формулу (83), бачимо, що при r = 0

(10.7)

а якщо r = a, то p = .

Тобто розподіл напружень на площі контакту нерівномірний: мінімальні на­пруження p=0,5p_c мають місце в центрі, максимальні – на контурі контакту – досягають безмежної величини (p_c– середній тиск).

Остання обставина в дійсності неможлива, оскільки величина напруження обмежена межею текучості для пластичних порід і межею міцності для крих­ких порід.

Експериментальними роботами Шрейнера Л.А. та ін. встановлено, що розподіл напружень на площі контакту нерівномірний лише на початку втискування, пізніше його можна прийняти як рівномірно розподілений, тобто

. (10.8)

Переміщення штампа для випадку нерівномірного розподілу тиску визначають за формулою

(10.9)

а при рівномірному розподілі:

(10.10)

де  – коефіцієнт Пуассона;

Е – модуль Юнга.

Барон Л.І. проаналізував напружений стан пружного півпростору при втискуванні жорсткого штампа для умови рівномірного розподілу напруження по площадці контакту.

Під штампом розташована область І усестороннього стиску, обмежена поверхнею _x = 0 (рис. 10.5). Розміри цієї області визначаються радіусом площадки контакту і коефіцієнтом Пуассона. Область І усестороннього стиску оточена областю ІІ, де одне з головних напружень більша за нуль (розтягуюче). Область ІІ знизу обмежена поверхнею _y = 0. Далі розташована область ІІІ, де _x >0 і _у >0.

Д ля оцінки співвідношення величин _x, _y, _z розглянемо, як змінюються головні напруження під штампом на осі симетрії Z (рис. 10.6 ).

На поверхні контакту усі головні напруження рівні між собою (має місце рівномірний усесторонній стиск). З віддаленням від поверхні контакту стискуючі напруження зменшуються, особливо _x і _y , які на деякій глибині переходять в розтягуючі. Однак величина розтягуючих напружень не перевищує 10% від величини нормального тиску. Оскільки боковий тиск практично завжди менший за гірський, із збільшенням глибини рівномірний стиск змінюється на нерівномірний усесторонній стиск (_z_{x, y}). Як результат, виникають дотичні напруження. Вони спочатку зростають, досягаючи максимуму на глибині, що дорівнює радіусу штампа, а потім зменшуються, прямуючи до нуля.

Таким чином, при втискуванні плоского циліндричного штампа найімовірнішими місцями зародження тріщин і руйнування є: на поверхні периферійна зона контакту, а в масиві – область на глибині, рівній радіусу індентора.

10.5 Втискування сферичного індентора

Деформування порід при втискуванні жорсткого сферичного індентора і плоского циліндричного штампа багато в чому схожі, хоча є і суттєві відмінності.

П

а –розрахункова схема б – розподіл контактних тисків

Рисунок 10.7 − Втискування сферичного індентора

ри відсутності навантаження сфера контактує з поверхнею твердого тіла в точці. Із збільшенням навантаження на сферу формується кругова площадка контакту. Розв’язок про радіус контактної поверхні, розподіл тиску на площадці і про вертикальні переміщення точок поверхні отримано Герцем. Розрахункова схема і розподіл контактних тисків показано на рис. 10.7.

Радіус площадки контакту дорівнює

, (10.10)

де R_С – радіус сфери.

Найбільший тиск має місце в центрі поверхні кон­такту і складає

, (10.11)

а розподіл тиску по діамет­ральному січенню площадки кон­такту описується рівнянням еліпса

. (10.12)

Найбільше переміщення цен­тральної точки контакту дорівнює

. (10.13)

Згідно досліджень Ейгелеса Р.М. структура поля напружень така ж, як і під циліндричним штампом. Відмінність полягає в тому, що уже на поверхні контакту має місце нерівномірний усесторонній стиск, а область усестороннього стиску при втискуванні сфери значно менша, чим при втискуванні плоского штампу. Розподіл напружень на осі симетрії під сферичним штампом показана на рис 24. Дотичні напруження досягають найбільших значень на деякій глибині від поверхні контакту (близько 0,5 а).

Таким чином, при втискуванні сфери найімовірнішими місцями руйнування є: на поверхні – центр контактної площадки, а в масиві – зона на глибині, що дорівнює половині радіуса контактної площадки.