Завдання № 6 Канонічні рівняння прямої у просторі

1. Скласти рівняння прямої, що утворена перетином площини з площиною, що проходить через вісь Ох і точку .

2. Вершини трикутника знаходяться в точках А(3;6;-7), В(-5;2;3), С(4;-7;-2). Скласти параметричні рівняння прямої, яка містить медіану трикутника, проведену з вершини С.

3. Вершини трикутника знаходяться в точках А(3;-1;-1), В(1;2;-7), С(-5;14;-3). Скласти канонічні рівняння прямої, яка містить бісектрису внутрішнього кута С трикутника.

4. Вершини трикутника знаходяться в точках А(1;-2;-4), В(3;1;-3), С(5;1;-7). Скласти канонічні рівняння прямої, яка містить висоту трикутника, опущену з вершини В на протилежну сторону.

5. Скласти канонічні рівняння прямої, що проходить через точку М₁(2;3;-5) паралельно прямій

6. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М₁(-1;2;-3) перпендикулярно до вектора і перетинає пряму .

7. Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(-4;-5;3) і перетинає дві прямі і .

8. Скласти канонічні рівняння прямої, яка містить спільний перпендикуляр двох прямих, заданих рівняннями і

9. Скласти рівняння прямої, яка лежить у площині і перетинає прямі та

10. Знайти рівняння проекції прямої на площину Оху.

ЗАВДАННЯ № 7

Параметричні рівняння прямої у просторі

Скласти параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку М₀ паралельно прямій l.

1. М₀ (2;-1;3), l:

2. М₀ (1;0;4), l:

3. М₀ (0;1;-3), l:

4. М₀ (-2;1;5), l:

5. М₀ (2;0;-1), l:

6. М₀ (-1;3;0), l:

7. М₀ (1;-3;-1), l:

8. М₀ (3;-1;2), l:

9. М₀ (-1;3;6), l:

10. М₀ (5;0;-2), l:

ЗАВДАННЯ № 8

Взаємне розміщення прямих у просторі

Встановити взаємне розміщення прямих у просторі:

1. і

2. і

3. і

4. і

5. і

6. і

7. і

8. і

9. і

10. і

ЗАВДАННЯ № 9

Метричні задачі з теорії прямих і площин

1. Знайти координати точки, яка симетрична точці М(4;3;10) відносно прямої

2. Знайти відстань між двома прямими і

3. Знайти відстань між ребрами АВ та СD тетраедра АВСD, якщо А(3;-1;0), В(0;-7;3), С(-2;1;-1), D(3;2;6).

4. Знайти відстань між двома прямими і

5. Знайти кут між ребром АВ і площиною грані ВСD тетраедра АВСD, якщо А(3;-1;0), В(0;-7;3), С(-2;1;-1), D(3;2;6).

6. Довести, що пряма паралельна до площини . Знайти відстань від l до .

7. Знайти відстань між ребрами ВС та АD тетраедра АВСD, якщо А(3;-1;0), В(0;-7;3), С(-2;1;-1), D(3;2;6).

8. Знайти кут між ребром АС і площиною грані АВD тетраедра АВСD, якщо А(3;-1;0), В(0;-7;3), С(-2;1;-1), D(3;2;6).

9. Знайти відстань між двома прямими і

10. Дано трикутник : А(2;-8;6), В(0;8;3), С(3;1;6). Знайти довжину висоти трикутника, проведеної з вершини С.

Завдання № 10 Застосування теорії прямих і площин до розв’язування задач елементарної геометрії

1. Довести, що для висоти h трикутної піраміди зі взаємно перпендикулярними бічними ребрами, рівними a, b, c, справедлива рівність .

2. У правильній чотирикутній піраміді SABCD бічна грань нахилена до площини основи під кутом . Знайти кут між площинами АКС і SAB, якщо К – середина ребра SB.

3. Показати, що в довільному тетраедрі шість площин, кожна з яких проходить через ребро і середину протилежного з ним ребра, перетинаються в одній точці.

4. У правильній трикутній піраміді SABC висота SH рівна h, сторона основи рівна а. Знайти кут між площинами АКС і HВС, де К – середина ребра SB.

5. Довести, що лінії перетину двох паралельних площин третьою площиною, є паралельними.

6. Довести, що в тетраедрі чотири прямі, що з’єднують кожну вершину з центром тяжіння протилежної грані, перетинаються в одній точці.

7. – правильна трикутна піраміда. Довести, що сума відстаней від будь-якої точки , яка лежить на площині до бічних граней є величина стала і не залежить від вибору точки .

8. – правильна чотирикутна піраміда. Довести, що сума відстаней від будь-якої точки , яка лежить на площині до бічних граней є величина стала і не залежить від вибору точки .

9. Дано куб, ребро якого дорівнює . Знайти відстань від вершини куба до діагоналі, що не проходить через точку і лежить у тому діагональному перерізі куба, який містить цю точку.

10. Довести, що в тетраедрі три прямі, що з’єднують середини протилежних ребер, перетинаються в одній точці.