Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть известные значения некоторой функции образуют следующую таблицу:

			…
			…

При этом требуется получить значение функции для такого значения аргумента , которое входит в отрезок , но не совпа­дает ни с одним из значений , .

Очевидный прием решения этой задачи — вычислить значение f(x), воспользовавшись аналитическим выражением функции f. Этот прием, однако, можно применить лишь в случае, когда ана­литическое выражение f пригодно для вычислений. Более того, часто аналитическое выражение функции вовсе неизвестно. В этих случаях применяется особый прием — построение по ис­ходной информации (табл.) приближающей функции F, которая в некотором смысле близка к функции и аналитическим выра­жением, которой можно воспользоваться для вычислений, считая приближенно, что

.

Классический подход к решению задачи построения прибли­жающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f(x) и F(x) в точках , , т. е.

, , …, .

В этом случае нахождение приближенной функции называют интерполяцией (или интерполированием), а точки - уз­лами интерполяции.

Интерполяционным многочленом Лагранжа называется многочлен, представленный в виде

,

где - вспомогательный многочлен.

Интерполяционным многочленом Лагранжа можно записать иначе:

.

По таблице исходной функции формула позволяет весьма просто сос­тавить «внешний вид» многочлена.

Пример 3. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной таблицей:

	1	3	4
	12	4	6

Решение:

Из таблицы следует, что (т.е. степень многочлена будет не выше, чем вторая);

,

,

+ + ,

, , ;

По формуле получим:

.

Формула Лагранжа для равноотстоящих узлов принимает вид:

,

где , , ,

Пример 4. Составить интерполяционный многочлен Лаг­ранжа для функции, заданной своими значениями на равноот­стоящих узлах (п = 2, h = 1):

	2	3	4
	4	-2	6

Решение:

Используя формулу запишем:

.

Узловые табличные значения функции (4; —2; 6) получаются по этой формуле соответственно при t = 0; 1; 2.

Оценка погрешности формулы Лагранжа находится по формуле:

,

где .

Пример 5. Для заданной функции на отрезке :

1. Построить интерполяционный многочлен Лагранжа при для равноотстающих узлов. Построить графики получившихся полиномов.

2. Используя MathCAD, выполнить интерполяцию кубическим сплайном. Оценить погрешность. 3. Для аппроксимации , использовать и соответственно. Оценить погрешность (построить графики погрешности). Оценить зависимость погрешности интерполяции от порядка многочлена.

Решение:

1.

	0	3

Для составления полинома Лагранжа можно воспользоваться средствами MathCAD.

Чтобы упростить выражение, полученное по формуле, необходимо воспользоваться оператором упрощения в MathCAD.

Упрощение выражений - наиболее часто применяемая операция. Символьный процессор MathCAD стремится так преобразовать выражение, чтобы оно приобрело более простую форму. При этом используются различные арифметические формулы, приведение подобных слагаемых, тригонометрические тождества, пересчет обратных функций и др. Чтобы упростить выражение с помощью меню:

1) Введите выражение.

2) Выделите выражение целиком или его часть, которую нужно упростить.

3) Выберите команду Symbolics / Simplify (Символика / Упростить).

	0		3

	0	1	2	3

	0				3

В среде MathCAD получили:

	0					3

В среде MathCAD получили:

2)

3)