4. Расчет цепи методом наложения (суперпозиции)

Метод наложения — применяется для расчета электрических цепей, имеющих несколько ЭДС. Сущность метода наложения состоит в том, что ток в какой-либо части цепи можно считать равным сумме частичных токов, создаваемых каждым источником ЭДС, действующими независимо от других.

Найдем токи, создаваемые в схеме источником ЭДС Е₁ . Эквивалентная схема рассматриваемой цепи изображена на (Рис.4), где:

Z₁₁ = Z₁+Z₀₁ = 4 + j3 = 5e ^j36,870

Z₂₂ = Z₂+Z₀₂ = 8 – j6 = 10e ^-j36,870

Z₃₃ = Z₃+Z₀₃ = 8 + j6 = 10e ^j36,870

Z₄₄ = Z₄+Z₀₄ = 0 + j10 = 10e ^j90

Рис.4 Схема цепи с одним источником ЭДС Е₁

Проводимости ветвей схемы:

Y₁ = 1/Z₁₁ = 0,2 = 0,16 – j0,12;

Y₂ = 1/Z₂₂ = 0,1 = 0,08 +0,06;

Y₃ = 1/Z₃₃ = 0,1 =0,08 – j0,06;

Y₄ = 1/Z₄₄ = 0,1 = -j0,1;

Полная проводимость и сопротивление параллельного участка цепи

Y₂₃₄ = Y₂ + Y₃ + Y₄ = 0,16 –j0,1 = 0,18868 ;

Z₂₃₄ = 1/Y₂₃₄ = 5,300 = 4,4944 + j2,8090

Полное сопротивление цепи Z’ = Z₁₁ + Z₂₃₄ = 8,4944 + j5,8090 = 10,2907

Ток I₁₁ = E₁/Z’ = 9,7175 = 8,0212 -j5,4854 ;

напряжение на параллельном участке ab U₂₃₄ = I₁₁* Z₂₃₄ = 51,5028

Токи от первого источника ЭДС в ветвях

I₂₁ = U₂₃₄* Y₂ = 5,1503 = 4,244 + j2,918;

I₃₁ = U₂₃₄* Y₃ = 5,1503 = 3,989 – j3,257;

I₄₁ = U₂₃₄* Y₄ = 5,1503 = -0,212 – j5,146;

На этом этапе можно осуществить частичную проверку полученных результатов. Очевидно, что ток I₁₁ = 8,021 -j5,485 должен быть равен сумме токов в параллельных ветвях схемы I₂₁ + I₃₁ + I₄₁ = 4,244 + j2,918 +

+ 3,989 – j3,257 - 0,212 – j5,146 = 8,021 –j5,485

Находим токи, создаваемые в схеме рис.1 источником ЭДС Е₂.

Полная проводимость и сопротивление параллельного участка цепи

Y₁₃₄ = Y₁ + Y₃ + Y₄; Z₁₃₄ = 1/Y₁₃₄

Полное сопротивление цепи Z’’ = Z₂₂ + Z₁₃₄

Ток I₂₂ = E₂/Z’’;

напряжение на параллельном участке ab U₁₃₄ = I₂₂* Z₁₃₄

Токи второго источника ЭДС Е₂ в ветвях схемы

I₁₂ = U₁₃₄* Y₁; I₃₂ = U₁₃₄* Y₃; I₄₂ = U₁₃₄* Y₄;

Аналогично находим токи создаваемые источниками Е₄ (третья ветвь не содержит источников, поэтому I₁₃; I₂₃; I₃₃; I₄₃ равны нулю)

Токи в ветвях исходной схемы равны сумме токов, создаваемых каждым источником ЭДС с учетом их направлений:

I₁ = I₁₁ – I₁₂ – I₁₃ – I₁₄ = 15.183 - j6.812 (А)

I₂ = I₂₂ – I₂₁ – I₂₃ – I₂₄ = -8.605 + j8.334 (А)

I₃ = I₃₃ – I₃₁ – I₃₂ – I₃₄ = -0.408 + 2.594 (А)

I₄ = I₄₄ – I₄₁ – I₄₂ – I₄₃ = -6.170 - j4.117 (А)

Проверка полученных результатов

Проверить полученные результаты можно на основании I закона Кирхгофа – сумма токов в узле а должна быть равна нулю I₁ + I₂ + I₃ + I₄ = 15.183 - 6.812 - 8.605 + 8.334 - 8.605 + 8.334 - 6.170 - 4.117 = 0 +j0, 001 ≈ 0

5. Расчет цепи методом узловых напряжений

В исходной схеме на Рис.2 два узла, поэтому напряжение на каждой из ветвей одинаково и может быть определено по формуле

(5.1)

E₁ = 100 + j0 = 100 ; E₂ = 0 + j100 = 100 ;

E₃ = 0 + j0 = 0; E₄ = 60 – j80 = 100 ;

Y₁ = 1/Z₁₁ = 0,2 = 0,16 – j0,12;

Y₂ = 1/Z₂₂ = 0,1 = 0,08 +j0,06;

Y₃ = 1/Z₃₃ = 0,1 =0,08 – j0,06;

Y₄ = 1/Z₄₄ = 0,1 = -j0,1;

= 100 ∙0,2 + 100 ∙0,1 + 0 + 100 = 2.000 -j10.000 = 10,198

0,16 – j0,12 + 0,08 + 0,06 + 0,08 – j0,06 - j0,1 = 0.3200 - j0.2200 = 0,3883

Uab = / = 26,263 = 18,833 - j18,302

Токи в каждой из ветвей можно рассчитать по закону Ома

(5.2)

= 15.183 - j6.812 (А)

= - 8.605 + j8.334 (А)

= - 0.408 + j2.594 (А)

= - 6.170 - j4.117 (А)