2. Проверка полученных результатов по условию баланса мощностей

По закону сохранения энергии суммарная мощность всех источников ЭДС должна быть равна суммарной мощности всех потребителей энергии.

Комплексная мощность каждого источника ЭДС определяется по формуле

где - сопряженный комплекс тока. (Сопряженными называются комплексные числа, векторы которых на комплексной плоскости симметричны относи­тельно вещественной оси , т.е. они имеют одинаковые модули и равные по величине, но противопо­ложные по знаку, аргументы.

Например, если I = 3 + j4 = 5 , то = 3 - j4 = 5

Тогда комплексная мощность ЭДС первой ветви

(E₁= 100 , I₁ = 15.183 - j6.812 = 16,641e^{- j24,164}) будет равна

= 100 ∙16,641e ^j24,164 = 1664,1 e^j24,164 = 1518,3 +j6811,7

Аналогично, можно найти комплексную мощность остальных источников ЭДС

Мощность потребителя энергии можно определить по формуле S = I²∙Z (где: I² – квадрат модуля тока, Z – комплексное сопротивление потребителя)

Тогда мощность, потребляемая первой ветвью

S₁₁ = I₁²∙Z₁ = 16,641²∙(4 + j3) = 1107,7 +j830,8

Аналогично, можно найти мощность потребителей и источников ЭДС для остальных ветвей.

Суммарная комплексная мощность всех источников

Sист = S₁ + S₂ + S₃+ S₄ = 2310,9 + j561,3 (ВА)

Суммарная комплексная мощность всех потребителей

Sпотр = S₁₁ + S₂₂ + S₃₃+ S₄₃ = 2310,9 + j561,3 (ВА)

Совпадение значений Sист и Sпотр свидетельствует о правильности найденных значений токов в ветвях.

Вещественная часть комплексной мощности Sпотр определяет активную мощность Рпотр, мнимая – реактивную Qпотр, а модуль – полную S:

Рпотр = 2310,9 (Вт); Qпотр = 561,3 (ВАр); Sпотр = 2378,1 (ВАр);

3. Расчет цепи методом контурных токов

В методе контурных токов используется только II-й закон Кирхгофа.

При выборе контуров должны выполняться два условия:

1. Каждый новый контур должен включать новую ветвь.

2. Каждый новый контур должен иметь общую ветвь с предыдущим контуром.

Для схемы Рис.3 можно выделить 3 контура - I, II, III

Будем считать, что направления контурных токов совпадают с направлениями обхода контуров, как показано на Рис. 3 – по часовой стрелке.

Рис.3 Схема рассматриваемого примера с контурными токами

Тогда система трех уравнений для трех контурных токов I₁₁, I₂₂, I₃₃, имеют вид:

Z₁₁I₁₁ + Z₂₂I₁₁ - Z₂₂I₂₂ = E₁ – E₂ (3.1)

Z₂₂I₂₂ - Z₂₂I₁₁ + Z₃₃I₂₂ - Z₃₃I₃₃ = E₂ – E₃ (3.2)

Z₃₃I₃₃ - Z₃₃I₂₂ + Z₄₄I₃₃ - Z₄₄I₄₄ = E₃ – E₄ (3.3)

Систему трех уравнений (6.1, 6.2, 6.3) также можно привести к стандартному виду

a₁₁I₁₁ + a₁₂I₂₂ + a₁₃I₃₃ = E₀₁

a₂₁I₁₁ + a₂₂I₂₂ + a₂₃I₃₃ = E₀₂ (3.4)

a₃₁I₁₁ + a₃₂I₂₂ + a₃₃I₃₃ = E₀₃

где:

a₁₁ = Z₁₁+ Z₂₂ = 12 – j3 = 12.369e^{- j14,036}

a₁₂ = - Z₂₂ = -8 + j6 = 10e ^j143,130

a₁₃ = 0;

a₂₁ = - Z₂₂ = - 8 + j6 = 10e ^j143,130

a₂₂ = Z₂₂ + Z₃₃ = 16 + j0 = 16e^j0

a₂₃ = - Z₃₃ = -8 – j6 = 10e^{- j143.130}

a₃₁ = 0;

a₃₂ = - Z₃₃ = -8 – j6 = 10e^{- j143.130}

a₃₃ = Z₃₃ + Z₄₄ = 8 + j16 = 17.888e^{- j63.435}

E₀₁ = E₁ – E₂ = 100 –j100 = 141.421e^{- j45}

E₀₂ = E₂ – E₃ = 0 + j100 = 100e ^j90

E₀₃ = E₃ – E₄ = - 60 + j80 = 100e ^j126.870

Решая системы уравнений (3.4) (аналогично решению системы уравнений 1.6), находим контурные токи I₁₁, I₂₂, I₃₃, I₄₄.

Главный определитель системы трех уравнений можно вычислить следующим образом

=

= -80 +j1940 = 1941.6e ^j92,361

Первый частный определитель

=

= 12000 + j30000 = 32311e ^j68,199

Второй частный определитель

=

= -3480 + j12640 = 13110e ^j105,393

Третий частный определитель

=

= -8480 + j11640 = 14401 e ^j126,074

Первый контурный ток = 16.641e ^–j24,163 = 15.183 - j6.812

Второй контурный ток = 6.752e ^j13,032 = 6.578 + j1.522

Третий контурный ток = 7.417e ^j33,713 = 6.170 + j4.117

Токи в ветвях можно найти следующим образом, учитывая величину и направление контурных токов в каждой из ветвей:

I₁ = I₁₁ = 15.183 - j6.812 (А)

I₂ = -I₁₁ + I₂₂ = -8.605 + j8.334 (А)

I₃ = -I₂₂ + I₃₃ = -0.408 + 2.594 (А)

I₄ = I₄₄ – I₄₁ – I₄₂ – I₄₃ = -6.170 - j4.117 (А)

I₅ = 0

Результаты совпадают с полученными ранее.