Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Обнинский Гуманитарный Институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Линейная алгебра2002.04.02.rtf

Скачиваний:

Добавлен:

01.04.2025

Размер:

33.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2220 21 22 > Следующая >>>

Тренинг компетенций

1 Компетенция №1. Вычисление собственных значений и собственных векторов матрицы a порядка n

1.1 Пример решения типовой задачи

Условие

Найти собственные значения и собственные векторы матрицы

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Составить характери-стический многочлен det(A – lE)
2	Написать характерис-тическое уравнение	(1 – l)((2 – l)² – 1) = 0 или (1 – l)²(3 – l) = 0
3	Найти корни характе-ристического уравнения	l₁ = l₂ = 1, l₃ = 3. l_1, 2 = 1 – корень кратности 2. l_1, 2 = 1, l₃ = 3 – собственные числа матрицы A
4	Для каждого l_i найти собственные векторы	l_1, 2 = 1. или эта система эквивалентна одному уравнению: x₁ – x₂ + x₃ = 0. Размерность подпространства решений . Фундаментальная система решений (ФСР) состоит из двух векторов f₁, f₂. Выпишем общее решение системы: {x₁ = x₂ – x₃ x₁ – зависимая переменная, x₂, x₃ – свободные переменные. , . , или . Решим систему методом Гаусса:

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
		r(A) = 2, n = 3. , , – зависимые, – свободная переменные. . Общее решение: . ФСР:
5	Найти ФСР для каж-дого	l₁ = 1; , , l₂ = 3;
6	Объединить все най-денные ФСР	Линейно независимая система собственных векторов матрицы А: f₁, f₂, f₃ образуют ортогональный базис пространства R³, т.к. (f₁, f₂) = (f₁, f₃) = (f₂, f₃) = 0

1.2 Задания для самостоятельной работы

1.2.1 Задача

Найти собственные значения и собственные векторы матриц:

1.2.2 Задача

Найти собственные значения и собственные векторы матриц:

1.2.3 Задача

Найти собственные значения и собственные векторы матриц:

1.2.4 Задача

Найти собственные значения и собственные векторы матриц:

1.2.5 Задача

Найти собственные значения и собственные векторы матриц:

1.2.6 Задача

Найти собственные значения и собственные векторы матриц:

2 Компетенция №2. Построение ортогональной системы векторов по заданной линейно независимой системе

2.1 Пример решения типовой задачи

Условие

Ортогонализовать систему векторов пространства R⁴: f₁=(1,–1,2,0), f₂=(0,0,1,1), .

Решение

Убедимся, что данные векторы линейно независимы и не являются взаимно ортогональными. Для этого найдем ранг системы векторов:

Ранг системы {f} равен трем, все векторы линейно независимы.

Проверим ортогональность (f₁, f₂) = 2 0, (f₁, f₃) = 3 0, (f₂, f₃) = 2 0.

Векторы не являются взаимно ортогональными.

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Положить g₁ = f₁	g₁ = (1, – 1, 2, 0)
2	g₂ = f₂ – l g₁, где	(g₁, f₁) = 2, (g₁, g₁) = 6. .
3		(g₁, f₃) = 3; (g₁, g₁) = 6; (g₂, f₃) = 1; (g₂, g₂) = . .
4	Выписать полученную ортогональную систему g₁, g₂, g₃	g₁ = (1, – 1, 2, 0), g₂ = (– 1, 1, 1, 3), g₃ = (3, 1, – 1, 1)

2.2 Задания для самостоятельной работы

2.2.1 Задача

Ортогонализовать данную систему векторов:

f₁ = (– 2, 2)

f₂ = (3, 4)

2.2.2 Задача

Ортогонализировать данную систему векторов:

f₁ = (1, 0, 1)

f₂ = (–1, – 1, –1)

f₃= (1, 2, –1)

2.2.3 Задача

Ортогонализовать данную систему векторов:

f₁ = (1, 1, 1, 0)

f₂ = (1, –1, 0, 1)

f₃ = (2, 0, –2, 1)

3 Компетенция №3 Составление матрицы данной квадратичной формы и проверка ее положительной определенности

3.1 Пример решения типовой задачи

Условие 1

Выписать матрицу А квадратичной формы

Проверить знакоопределенность квадратичной формы, используя критерий Сильвестра.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Выписать симметричную матрицу квадратичной формы	Для данной квадратичной формы a₁₁ = – 2; 2a₁₂ = 8; 2a₁₃ = – 2; ; 2a₂₃ = 4; a₃₃ = – 4.
2	Вычислить все угловые миноры мат-рицы А	D₁ = – 2 <0.
3	Определить знак квадратичной фор-мы. Будет ли форма положительно определенной?	По критерию Сильвестра Q(x) не является поло-жительно определенной, т.к. не все угловые миноры положительны. Знаки угловых миноров чередуются, причем, D₁ < 0, значит Q(x) отрицательно определена

Условие 2

Найти все значения параметра , при которых квадратичная форма

будет положительно определена.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Выписать матрицу квадратичной фор-мы
2	Вычислить все угловые миноры мат-рицы А	D₁ = 1 > 0.
№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
3	Применить критерий Сильвестра положительной определенности	D₁ = 1 > 0. D₂ = 1 > 0. D₃ = –a² + 4a – 3 = –(a – 1)( a – 3) > 0 для всех aÎ(1, 3). Ответ: если параметр aÎ(1, 3), то квадратичная форма Q(x) положительно определена

3.2 Задания для самостоятельной работы

3.2.1 Задача

Определить знак квадратичной формы:

3.2.2 Задача*

Определить знак квадратичной формы:

3.2.3 Задача

Определить знак квадратичной формы:

3.2.4 Задача*

Определить знак квадратичной формы:

3.2.5 Задача

Найти наименьшее целое значение параметра , при котором квадратичная форма поло-жительно определена:

Замечание. Для решения задач, отмеченных (*), следует применить критерий неотрицатель-ной определенности.

4 Компетенция №4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием

4.1 Пример решения типовой задачи

Условие

Привести квадратичную форму

к каноническому виду ортогональным преобразованием.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Выписать симметричную мат-рицу А квадратичной формы
№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
2	Найти собственные числа l₁, l₂, l₃ матрицы А	Характеристический многочлен Характеристическое уравнение: det(A – lE) = 0, или P(l) = (5 – l)(l² – 16) = 0. l₁ = – 4, l₂ = 4, l₃ = 5. Все корни различные и просты (кратности 1)
3	Найти собственные векторы f₁, f₂, f₃, отвечающие собственным значениям l₁, l₂, l₃	а) l₁ = – 4 Соответствующая система уравнений: Решим систему методом Гаусса: x₃ – свободная переменная. Собственный вектор (базисный пространства ) f₁ = (– 1, 0, 1) б) l₂ = 4 Соответствующая система уравнений: Решим систему методом Гаусса: x₃ – свободная переменная. Собственный вектор (базисный пространства ) f₂ = (1, 0, 1). в) l₃ = 5 Соответствующая система уравнений: Решим систему методом Гаусса:
№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
		x₂ – свободная переменная. Собственный вектор (базисный пространства ) f₃=(0,1,0)
4	Ортогонализовать базис f₁, f₂, f₃	Полученный собственный базис (g₁ = f₁; g₂ = f₂; g₃ = f₃) уже ортогональный т.к. (f₁, f₂) = (f₁, f₃) = (f₂, f₃) = 0. l₁_¹l₂_¹l₃ – различным собственным значениям отвечают ортогональные собственные векторы симметричной мат-рицы
5	Нормировать базис {g}	; ; . ; ; . u₁, u₂, u₃ – ортонормированный собственный базис мат-рицы А
6	Составить ортогональную мат-рицу перехода С от базиса {e} к базису {u}
7	Сделать замену переменных x=Cy. Выписать канонический вид квадратичной формы	В координатах y₁, y₂, y₃ квадратичная форма имеет вид суммы квадратов:
8	Записать обратное преобразо-вание координат	В силу ортогональности матрицы С обратная матрица В старых координатах x₁, x₂, x₃ Q(x) = – 2(x₁ – x₃)² + 2(x₁ + + x₃)² + 5 x₂²

4.2 Задания для самостоятельной работы

4.2.1 Задача

Привести квадратичные формы к каноническому виду (к сумме квадратов).

4.2.2 Задача

Привести квадратичные формы к каноническому виду (к сумме квадратов).

4.2.3 Задача

Привести квадратичные формы к каноническому виду (к сумме квадратов).

4.2.4 Задача

Привести квадратичные формы к каноническому виду (к сумме квадратов).

Указание: характеристический многочлен равен:

P( ) = – ( – 7)²( + 2)².

5 Компетенция № 5. Приведение к каноническому виду центральной кривой второго порядка

5.1 Пример решения типовой задачи

Условие

Привести кривую второго порядка 3x² + 2xy + 3y² – 4 = 0 к каноническому виду.

Решение

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0,

где хотя бы один из коэффициентов A, B, C отличен от нуля (A² + B² + C² > 0).

Здесь A = 3, B = 1, C = 3, D = E = 0; F=-4; AC – B² = 9 – 1 > 0.

Следовательно, кривая центральная, эллиптического типа.

Координаты центра x₀, y₀ находим из системы:

или .

Центр находится в начале координат, перенос осей не нужен, требуется лишь поворот систе-мы координат.

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Выписать матрицу квад-ратичной формы	Q(x, y) = 3x² + 2xy + 3y²
№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
2	Найти собственные числа l₁, l₂	l₁ = 4, l₂ = 2
3	Найти ортонормирован-ные собственные векто-ры u₁, u₂	l₁ = 4; l₂ = 2;
4	Составить матрицу С пе-рехода от базиса {e} к базису {u}	Стандартный базис: e₁ = (1, 0); e₂ = (0, 1). Новый собственный базис: u₁, u₂. Матрица перехода от {e} к {u}: матрица поворота на угол a
5	Записать канонический вид кривой l₁(x¢)² +l₂(y¢)²+F= 0	Перейдем к новым координатам x¢, y¢: В новой системе координат x¢, y¢ уравнение кривой имеет вид: 4(x¢)² + 2(y¢)² – 4 = 0
6	Определить тип кривой и сделать чертеж	Приведем полученное уравнение к каноническому виду: – эллипс с полуосями a = 1, . Новые оси OX¢, OY¢ направлены по собственным векторам u₁, u₂, переход к новым осям осуществлен поворотом на угол против часовой стрелки

5.2 Задания для самостоятельной работы

5.2.1 Задача

Привести следующие кривые второго порядка к каноническому виду:

2xy – 4x² – y² – 15 = 0.

5.2.2 Задача

Привести следующие кривые второго порядка к каноническому виду:

x² – 6xy + y² – 16 = 0.

5.2.3 Задача

Привести следующие кривые второго порядка к каноническому виду:

5x² – 2xy + 5y² = 0.

6 Компетенция №6. Проверка условий линейного подпространства для множества W

6.1 Пример решения типовой задачи

Условие 1

Проверить, образует ли линейное подпространство множество

W₁ = {x = (x₁, x₂, x₃, x₄)  R⁴ | 2x₁ + x₄) = 0}.

Множество W₁ состоит из тех векторов пространства R⁴, для координат которых выполняется условие 2x₁ + x₄ = 0 (например, = (– 2, 3, 0, 4)  W₁, а вектор = (3, 1, 1, 0)  W₁).

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Составить вектор z = ax + by, где a, b – пропорциональные числа, x, y Î W₁	Пусть x = (x₁, x₂, x₃, x₄) и y = (y₁, y₂, y₃, y₄) Î W₁, т.е. обладают свойством Составим вектор z = ax + by = (ax₁ + by₁; ax₂ + by₂; ax₃ + by₃; ax₄ + by₄) = = (z₁, z₂, z₃, z₄)
2	Выяснить, принадлежит ли век-тор z множеству W₁	Найдем для вектора z сумму координат 2z₁ + z₄. 2z₁ + z₄ = 2(ax₁ + by₁) + (ax₄ + by₄) = a(2x₁ + x₄) + b(2y₁ + + y₄) = 0 (см. (*)). Для вектора z выполнены условия, определяющие мно-жество W₁ т.е. z Î W₁
3	Сделать вывод	Линейные операции над векторами множества W₁ не выво-дят из множества W₁. Следовательно, W₁ – подпростран-ство

Условие 2

Проверить, образует ли линейное подпространство множество

W₂ = {x = (x₁, x₂, x₃, x₄)  R⁴ | 2x₁ + x₄) = 0}.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Составить вектор z = ax + by, где a, b – произво-льные числа, x, y Î W₂.	Пусть x = (x₁, x₂, x₃, x₄) Î W₂и y = (y₁, y₂, y₃, y₄) Î W₂, т.е. Составим вектор z = ax + by = (z₁, z₂, z₃, z₄), где z_i = ax_i + by_i(i = 1, 2, 3, 4)
2	Выяснить, принад-лежит ли вектор z множеству W₂.	2z₁ + z₄ = 2(ax₁ + by₁) + (ax₄ + by₄) = a(2x₁ + x₄) + b(2y₁ + y₄) = a + b ¹ 1, для произвольных a, b т.е. z Ï W₂
№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
3	Сделать вывод	Линейные операции над векторами множества W₂ выводят за множества W₂. Следовательно, W₂ не является подпространством. Таким образом, совокупность решений неоднородного уравнения 2x₁ + x₄ = 1 не образует подпространства в отличие от подпро-странства решений однородного уравнения 2x₁ + x₄ = 0. Совокуп-ность решений неоднородной системы – сдвиг подпространства решений однородной системы (см. юниту 1)

Условие 3

Проверить, образует ли подпространство множество W всех четных функций пространства .

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Составить вектор j(x) = af(x) + bg(x), где a, b – произвольные числа, f(x), g(x) ÎW	Пусть f(x), g(x) – четные, непрерывные на (–1, 1) функции, т.е. f, g Î W. Тогда Составим функцию j(x) = af(x) + bg(x)
2	Выяснить, принадлежит ли вектор j(x) множеству W	Сравним j(x) и j(– x): j(– x) = af(– x) + bg(– x) = af(x) + bg(x) = j(x), т.к. выполняются равенства (*). Итак, j(– x) = j(x), функция j(x) – четная, j(x) Î W
3	Сделать вывод	Линейные операции над четными функциями оставляют функ-цию четной, т.е. множество четных функций является под-пространством. Аналогично можно убедиться, что множество нечетных функ-ций пространства С_{(–1, 1)} является подпространством

6.2 Задания для самостоятельной работы

6.2.1 Задача

Будет ли подпространством подмножество V  R⁴, определенное следующим образом:

V = {x = (x₁, x₂, x₃, x₄)  R⁴ | x₃ = 2x₂}.

6.2.2 Задача

Будет ли подпространством подмножество V  R⁴, определенное следующим образом:

V = {x = (x₁, x₂, x₃, x₄)  R⁴ | x₃ > 2x₂}.

6.2.3 Задача

Будет ли подпространством подмножество V  R⁴, определенное следующим образом:

V = {x = (x₁, x₂, x₃, x₄)  R⁴ | x₁ – целое число}.

6.2.4 Задача

Будет ли подпространством подмножество V  R⁴, определенное следующим образом:

V = {x = (x₁, x₂, x₃, x₄)  R⁴ | x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 0}.

6.2.5 Задача

Образует ли подпространство множество W всех линейных функций

f(x) = ax + b,

где a, b – произвольные числа.

6.2.6 Задача

Образует ли подпространство множество W всех многочленов третьей степени от переменной x.

7 Компетенция №7. Проверка условий образования базиса линейного подпространства из данной системы векторов

7.1 Пример решения типовой задачи

Условие 1

Выяснить, образует ли система векторов f₁(2,–1,1), f₂(0,1,–1), f₃(2,1,–1) базис в пространстве R³.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Выписать стандартный базис данного линейного пространства и определить размерность пространства	Стандартный базис R³: e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1). dim R³ = 3
№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
2	Определить координаты данной систе-мы в стандартном базисе	В стандартном базисе координаты векторов совпа-дают с их компонентами: f₁ = 2e₁ – e₂ + e₃ = (2, – 1, 1)_e f₂ = e₂ – e₃ = (0, 1, – 1)_e f₃ = 2e₁ + e₂ – e₃ = (2, 1, – 1)_e
3	Составить матрицу А из координат векторов {f} в базисе {e}
4	Найти ранг матрицы А	Определим rank A методом Гаусса. rank А=2
5	Сделать вывод	rank A ¹ dim R³, система f₁, f₂, f₃ не образует базис

Условие 2

Образует ли система многочленов ₁ =1, ₂ = x, ₃ = x² + 2x + 1, ₄ = x³ – x² базис в прост-ранстве многочленов степени n  3.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Выписать стандартный базис пространства и определить размерность пространства	В пространстве P многочленов степени £ 3 стандартный базис состоит из функций: e₁ = 1, e₂ = x, e₃ = x², e₄ = x³ dim P = 4
2	Определить координаты системы векторов {j} в стандартном базисе {e}	j₁ = e₁ = (1, 0, 0, 0)_e j₂ = x = e₂ = (0, 1, 0, 0)_e j₃ = 1 + 2x + x² = e₁ + 2e₂ + e₃ = (1, 2, 1, 0)_e j₄ = – x² + x³ = – e₃ + e₄ = (0, 0, – 1, 1)_e
3	Составить матрицу А из коор-динат векторов {j} в базисе {e}
4	Найти r (А)	Определим rank A методом Гаусса. rank A=4
5	Сделать вывод	r (A) = 4 = dim P, система j₁, j₂, j₃, j₄ образует базис

7.2 Задания для самостоятельной работы

7.2.1 Задача

Выяснить, образует ли данная система векторов базис линейного пространства.

f₁ = (– 1, 2), f₂ = (2, – 4)  R².

7.2.2 Задача

Выяснить, образует ли данная система векторов базис линейного пространства.

f₁ = (1, 4, 6), f₂ = (1, – 1, 1), f₃ = (1, 1, 3)  R³.

7.2.3 Задача

Выяснить, образует ли данная система векторов базис линейного пространства.

f₁ = (1, – 1, 2), f₂ = (– 1, 1, – 1), f₃ = (2, – 1, 1)  R³.

7.2.4 Задача

Выяснить, образует ли данная система векторов базис линейного пространства.

₁(x) = 1+x+х²; ₂(x) = 1 + 2x + x²; ₃(x) = 1 + 3x + x²

в пространстве P многочленов степени  2.

7.2.5 Задача

Выяснить, образует ли данная система векторов базис линейного пространства.

₁(x) = x; ₂(x) = x²; ₃(x) = (1 + x)²

в пространстве P многочленов степени  2.

7.2.6 Задача

Выяснить, образует ли данная система векторов базис линейного пространства.

₁(x) = shx; ₂(x) = chx

в линейной оболочке функций e₁(x) = e^x, e₂(x) = e^–x.

8 Компетенция №8. Отыскание координат вектора в новом базисе, если он задан в базисе {e}

8.1 Пример решения типовой задачи

Условие 1

Найти координаты вектора x = (1,1,1) в базисе f₁(1,2,0), f₂(1,3,0), f₃(1,0,1), если все векторы заданы в базисе {e}.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Определить координаты новой системы {f} по ста-рому базису {e}	Стандартный базис пространства R³: e₁ = (1, 0, 0), e₂ = (0, 1, 0), e₃ = (0, 0, 1). Координаты системы {f} по старому базису {e} совпадают с компонентами векторов {f}. f₁ = e₁ + 2e₂ f₂ = e₁ + 3e₂ f₃ = e₁ + e₃
2	Записать матрицу перехода С от старого базиса {e} к новому базису {f}	Столбцами матрицы С служат координаты векторов нового базиса {f} по старому {e}
3	Выписать зависимость «старых» координат векто-ра x от «новых» координат в базисе {f}. x_e = Cx_f	Пусть координаты вектора x в базисе {f} будут x_f = (y₁, y₂, y₃), тогда
4	Найти обратную матрицу C^–1	Найдем матрицу C^–1 с помощью алгебраических дополнений. A₁₁ = 3; A₂₁ = – 1; A₃₁ = – 3; A₁₂ = – 2; A₂₂ = 1; A₃₂ = 2; A₁₃ = 0; A₂₃ = 0; A₃₃ = 1.
5	Вычислить координаты вектора x в новом базисе {f}: x_f = C^–1x_e	Замечание. Поставленную задачу решим не вычисляя C^–1. Для этого разложим вектор x по новому базису: {f}: x = y₁f₁ + y₂f₂ + + y₃f₃. Выразим левую и правую части равенства через векторы e₁, e₂,…,e₃: e₁ + e₂ + e₃ = y₁(e₁ + 2e₂) + y₂(e₁ + 3e₂) + y₃(e₁ + e₃), (1 – y₁ – y₂ – y₃)e₁ + (1 – 2y₁ – 3y₂)e₂ + (1 – y₃)e₃ = 0. Так как, e₁, e₂, e₃ линейно независимы, то полученная линейная комбинация тривиальная:

Условие 2

Найти координаты вектора P(x) = x² + x в базисе из полиномов Лежандра f₁ = 1, f₂ = x,

f₃= , f₄ = .

(Пространство многочленов степени  3.)

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Определить координаты нового базиса {f} по старому базису {e}	Стандартный базис пространства: e₁ = 1, e₂ = x, e₃ = x², e₄ = x³. f₁ = 1 = e₁ = (1, 0, 0, 0) f₂ = x = e₂ = (0, 1, 0, 0) f₃ = = e₁ + e₃ = ( , 0, 1, 0) f₄ = = e₂+ e₄ = (0, , 0, 1)
2	Записать матрицу перехода С от старого базиса {e} к новому базису {f}
3	Выписать зависимость «старых» коор-динат вектора P(x) от «новых» координат в базисе {f}	Пусть координаты многочлена P(x) по полино-мам Лежандра будут y₁, y₂, y₃, y₄; в стандарт-ном базисе многочлен P(x) имеет координаты: P(x) = x + x² = e₂ + e₃ = (0, 1, 1, 0), тогда
4	Найти обратную матрицу C^–1	C^–1будем искать методом Гаусса

№

п/п

Алгоритм

Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму

Итак,

Вычислить координаты вектора P(x) в но-вом базисе {f}

P_f = C^–1P_e

x + x² = f₁ + 1f₂ + 1f₃ = × 1 + 1x + 1×(x² )

8.2 Задания для самостоятельной работы

8.2.1 Задача

Найти координаты вектора x в базисе {f}, если все векторы заданы в стандартном базисе {e}.

f₁ = (1,1,2), f₂ = (2,–1,0), f₃ = (–1,1,1), x = (6,–1,3).

8.2.2 Задача

Найти координаты вектора x в базисе {f}, если все векторы заданы в стандартном базисе {e}.

f₁ = (2,5,–1), f₂ = (–1,–3,0), f₃ = (2,3,–2), x = (1,2,0).

8.2.3 Задача

Найти координаты вектора x в базисе {f}, если все векторы заданы в стандартном базисе {e}.

f₁ = (1,0,1), f₂ = (1,1,0), f₃ = (0,1,–3), x = (4,–2,1).

8.2.4 Задача

Найти координаты многочлена P(x) = 3x² – 2x + 6 в базисе f₁ = x, f₂ = x + 1, f₃ = (1 + x)²; рассматривается пространство многочленов степени  2, исходный базис – стандартный.

8.2.5 Задача

В линейной оболочке L(e^x, e^–x) задана функция (x) = e^x + 2e^–x. Найти координаты (x) в новом базисе f₁ = chx, f₂ = shx.

9 Компетенция №9. Проверка линейности заданного оператора

9.1 Пример решения типовой задачи

Условие 1

Проверить линейность оператора A : R³  R³ , где

Aх = (x₁ + x₃, x₂, 2x₁ + x₃ ) для x = (x₁, x₂, x₃)  R³.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Составить вектор z = ax + by, где a, b – любые числа, x, y Î R³	z = (z₁, z₂, z₃) = a(x₁¸ x₂, x₃) + b(y₁, y₂, y₃) = (ax₁ + by₁, ax₂ + by₂, ax₃ + by₃)
2	Найти образ Az = A(ax + by)	Az = (z₁ + z₃, z₂, 2z₁ + z₃), где z₁ + z₃ = ax₁ + by₁ + ax₃ + by₃ = a(x₁ + + x₃) + b(y₁ + y₃) z₂ = ax₂ + by₂ 2z₁ + z₃ = 2(ax₁ + by₁) + ax₃ + by₃ = a(2x₁ + x₃) + b(2y₁ + y₃)
3	Найти образы Ax и Ay	Ax = (x₁ + x₃, x₂, 2x₁ + x₃) Ay = (y₁ + y₃, y₂, 2y₁ + y₃)
4	Проверить, совпадают ли векторы Az и aAx + bAy	aAx + bAy = a(x₁ + x₃, x₂, 2x₁ + x₃) + b(y₁ + y₃, y₂, 2y₁ + y₃) = (a(x₁ + + x₃)+ b(y₁ + y₃); ax₂ + by₂; a(2x₁ + x₃) + b(2y₁ + y₃)) Сравнивая координаты вектора aAx + bAy с соответствующими координатами вектора Az убеждаемся, что aAx + bAy = Az
5	Сделать вывод	Так как aAx + bAy = A(ax + by), то (оператор) преобразование А – линейно

Условие 2

Проверить линейность преобразования Ax = x + a, где x, a  V, причем a – фиксированный вектор.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Составить вектор z = ax + by	z = ax + by, где x, y Î V, a, b –любые числа
2	Найти образ Az = A(ax + by)	Az = A(ax + by) = z + a = ax + by + a
3	Найти образы Ax и Ay	Ax = x + a, Ay = y + a
4	Проверить, совпадают ли векторы Az и aAx + bAy	aAx = ax + aa bAy = by + ba. aAx + bAy = ax + by + (a + b)a. Сравнивая образы A(ax + by) (п. 2) и aAx + bAy, получим, что они совпадают лишь в случае a + b = 1 (не для всяких a, b)
5	Сделать вывод	Так как A(ax + by) ¹ aAx + bAy для любых a, b, то преобразование А не является линейным

Условие 3

В пространстве дважды дифференцируемых на (a,b) функции f(t) задан оператор диф-ференцирования

D : f(t)  t  f(t) + f(t).

Проверить линейность оператора D.

Решение

№ п/п	Алгоритм	Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму
1	Составить функ-цию j(t) = af(t) + bg(t)	j(t) = af(t) + bg(t), здесь a, b –любые числа, f(t), g(t) Î С²₍_a_,_b₎
2	Найти образ D(j(t))	D(j(t)) = t × j¢¢(t) + j¢(t) = t(af(t) + bg(t))¢¢ + (af(t) + bg(t))¢ = a(tf¢¢(t) + +f¢(t)) + b(g¢¢(t)t + g¢(t)). (Использовали линейность операции дифференцирования: по правилам дифференцирования производная от суммы функций равна сумме производных, числовой множитель можно вынести за знак производной)
3	Найти образы D(f(t)) и D(g(t))	D(f(t)) = tf¢¢(t) + f¢(t) D(g(t)) = tg¢¢(t) + g¢(t)
4	Проверить, совпа-дают ли D(af + bg) и aD(f) + bD(g)	aD(f) + bD(g) = a(tf¢¢+ f¢) + b(tg¢¢+ g¢) = t(af¢¢+ bg¢¢) + af¢+bg¢. Сравнивая результаты п. 2 с последним равенством, получаем, что D(af + bg) = aD(f) + bD(g)
5	Сделать вывод	Оператор D : f(t) ® t × f¢¢(t) + f¢(t) – линейный

9.2 Задания для самостоятельной работы

9.2.1 Задача