Задания для самостоятельной работы

1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:

2. Решите самостоятельно следующие задачи (номер варианта совпадает с Вашим номе-ром в списке группы):

Задача № 1. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A:

Варианты:

№ 1 № 2 № 3

№ 4 № 5 № 6

№ 7 № 8 № 9

№ 10 № 11 № 12

№ 13 № 14 № 15

№ 16 № 17 № 18

№ 19 № 20 № 21

№ 22 № 23 № 24

№ 25 № 26 № 27

№ 28 № 29 № 30

Задача № 2. Привести кривую второго порядка к каноническому виду ортогональным преоб-разованием.

Варианты:

№ 1. 4xy – x² – y² + 3 = 0.

№ 2. 2x² + 2y² – 2xy – 9 = 0.

№ 3. xy = 4.

№ 4. 2xy – 2x² – 2y² + 9 = 0.

№ 5. 4xy – 3x² – 3y² + 25 = 0.

№ 6. 15 – x² – y² – 4xy = 0.

№ 7. 6xy – 5x² – 5y² + 16 = 0.

№ 8. xy – 8 = 0.

№ 9. 3x² + 3y² – 4xy – 10 = 0.

№ 10. x² + y² – 8xy – 15 = 0.

№ 11. 5x² + 5y² – 2xy – 24 = 0.

№ 12. 4xy + 1 = 0.

№ 13. 2x² + 2y² – 2xy – 1 = 0.

№ 14. 3x² + y² – 4xy = 0.

№ 15. x² + y² + xy – 9 = 0.

№ 16. xy – 8 = 0.

№ 17. 4xy – x² – y² + 3 = 0.

№ 18. 3x² + 3y² – 4xy – 10 = 0.

№ 19. 2x² + 2y² – 2xy – 9 = 0.

№ 20. x² + y² – 8xy – 15 = 0.

№ 21. xy – 4 = 0.

№ 22. 5x² + 5y² – 2xy – 24 = 0.

№ 23. 2xy – 2x² – 2y² + 9 = 0.

№ 24. 4xy + 1 = 0.

№ 25. 4xy – 3x² – 3y² + 25 = 0.

№ 26. x² + y² = 0.

№ 27. 15 – x² – y² – 4xy = 0.

№ 28. 3x² + y² – 4xy = 0.

№ 29. 6xy – 5x² – 5y² + 16 = 0.

№ 30. x² + y² + xy – 9 = 0.

Задача № 3. При каких значениях параметра квадратичная форма Q(x) положительно опре-делена (указать ближайшее целое ).

Варианты:

№ 1.

№ 2.

№ 3.

№ 4.

№ 5.

№ 6.

№ 7.

№ 8.

№ 9.

№ 10.

№ 11.

№ 12.

№ 13.

№ 14.

№ 15.

№ 16.

№ 17.

№ 18.

№ 19.

№ 20.

№ 21.

№ 22.

№ 23.

№ 24.

№ 25.

№ 26.

№ 27.

№ 28.

№ 29.

№ 30.

Задача № 4. Определить координаты образа A(x), если задан вектор x и матрица A линейного преобразования A : R³  R³.

Варианты:

№ 1, № 16 ; № 2, № 17 ;

№ 3, № 18 ; № 4, № 19 ;

№ 5, № 20 ; № 6, № 21 ;

№ 7, № 22 ; № 8, № 23 ;

№ 9, № 24 ; № 10, № 25 ;

№ 11, № 26 ; № 12, № 27 ;

№ 13, № 28 ; № 14, № 29 ;

№ 15, № 30 .

Задача № 5. В пространстве V многочленов P(t) степени n2 со стандартным базисом e₁ = 1, e₂ = t, e₃ = t² задана система векторов f₁, f₂, f₃ и оператор A : VV;

1) проверить, что f₁, f₂, f₃ является тоже базисом;

2) проверить линейность оператора А;

3) найти матрицу перехода С от базиса {e} к базису {f};

4) найти матрицы A_e, A_f оператора A в обоих базисах;

5) проверить формулу A_f = C^–1A_eC.

Варианты:

№ 1, 16. f₁ = 1 + t; f₂ = t + t²; f₃ = 1 + t²; A(p) = t  p.

№ 2, 17. f₁ = 1 + t; f₂ = t + t²; f₃ = 1 + t²; A(p) = p + p.

№ 3, 18. f₁ = 1 + t; f₂ = t + t²; f₃ = 1 + t²; A(p) = 2p – p.

№ 4, 19. f₁ = 1 ; f₂ = 1 + t; f₃ = 1 + t + t²; A(p) = t  p.

№ 5, 20. f₁ = 1; f₂ = 1 + t; f₃ = 1 + t + t²; A(p) = p + p.

№ 6, 21. f₁ = 1; f₂ = 1 + t; f₃ = 1 + t + t²; A(p) = 2p – p.

№ 7, 22. f₁ = 1 – t; f₂ = t – t²; f₃ = t²; A(p) = t  p.

№ 8, 23. f₁ = 1 – t; f₂ = t – t²; f₃ = t²; A(p) = p + p.

№ 9, 24. f₁ = 1 – t; f₂ = t – t²; f₃ = t²; A(p) = 2p – p.

№ 10, 25. f₁ = t(1 + t); f₂ = t(t –1); f₃ = 1; A(p) = t  p.

№ 11, 26. f₁ = t(1 + t); f₂ = t(t –1); f₃ = 1; A(p) = p + p.

№ 12, 27. f₁ = t(1 + t); f₂ = t(t –1); f₃ = 1; A(p) = 2p – p.

№ 13, 28. f₁ = t² + t + 1; f₂ = t² + t; f₃ = t²; A(p) = t  p.

№ 14, 29. f₁ = t² + t + 1; f₂ = t² + t; f₃ = t²; A(p) = p + p.

№ 15, 30. f₁ = t² + t + 1; f₂ = t² + t; f₃ = t²; A(p) = 2p – p.