С
овременная
Гуманитарная
Академия
Дистанционное образование
________________________________________________________
2002.04.02;РУ.01;2
Рабочий учебник
Фамилия, имя, отчество обучающегося___________________________________________________
Направление подготовки_______________________________________________________________
Номер контракта______________________________________________________________________
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
ЮНИТА 4
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. ЧАСТЬ 2
МОСКВА 2010
Разработано И.А. Красовской, Д.Х. Керимовой,
Под ред. Б.П. Осиленкера, д-ра физ.-мат. наук, проф.
Рекомендовано Учебно-методическим
советом в качестве учебного пособия
для студентов СГА
КУРС: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Юнита 1. Элементы векторной алгебры. Аналитическая геометрия на плоскости.
Юнита 2. Аналитическая геометрия в пространстве.
Юнита 3. Линейная алгебра. Часть 1.
Юнита 4. Линейная алгебра. Часть 2.
ЮНИТА 4
Изложены основные понятия и факты линейной алгебры: собственные числа и собственные векторы матриц, собственный базис симметричной матрицы; квадратичная форма, приведение квадратичной формы и кривой второго порядка к каноническому виду, знакоопределенность квад-ратичной формы, критерий Сильвестра; линейные пространства, линейные операторы, действую-щие в линейных пространствах, их матрицы.
Рабочий учебник составлен на основе дидактических единиц учебников, имеющих гриф Министерства образования и науки Российской Федерации или Учебно-методического объединения:
1. Бекелемишев, Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры [Текст] / Д. В. Бекелемишев. – М. : Физматлит, 2007 (гриф УМО).
2. Ильин, В. А. Линейная алгебра [Текст] / В. А. Ильин, Э. Г. Поздняк. – М. : Физматлит, 2007 (гриф МО РФ).
3. Кострикин, А. И. Введение в алгебру [Текст] / А. И. Кострикин. – М. : Физматлит, 2004. Кн. 2 (гриф УМО).
Для студентов Современной Гуманитарной Академии
_____________________________________________________________________________________
© СОВРЕМЕННАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ, 2010
(настоящее учебное пособие не может быть полностью или частично воспроизведено, тиражировано
и распространено в качестве официального издания без разрешения руководства СГА)
Соответствие системы менеджмента качества СГА в сфере создания информационных образовательных ресурсов требованиям международного стандарта ISO 9001:2000 (ГОСТ Р ИСО 9001-2001) подтверждено
Сертификатом соответствия Стандарт-тест
Оглавление
Стр.
Дидактический план 4
Литература 5
Перечень КОМПЕТЕНЦИЙ 6
Тематический обзор 9
1 СОБСТВЕННЫЕ ЧИСЛА И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ МАТРИЦЫ 9
1.1 Определение. Основные свойства собственных векторов 9
1.2 Характеристический многочлен 11
1.3 Собственное подпространство 13
2 ПРИВЕДЕНИЕ СИММЕТРИЧНОЙ МАТРИЦЫ К ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ 16
2.1 Скалярное произведение в пространстве Rn. Процесс ортогонализации 16
2.2 Ортогональная матрица 18
2.3 Собственный базис симметричной матрицы 21
3 Квадратичная форма. Приведение к каноническому виду 23
3.1 Основные определения. Матрица квадратичной формы 23
3.2 Преобразование матрицы при линейной замене переменных 25
3.3 Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием 26
3.4 Приведение кривой второго порядка к каноническому виду 28
3.5 Знакоопределенные квадратичные формы. Критерий Сильвестра 31
4 ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 34
4.1 Определение линейного пространства 34
4.2 Линейная зависимость 36
4.3 Базис и координаты. Размерность пространства 37
4.4 Матрица перехода 39
4.5 Подпространство 41
4.6 Евклидовы пространства 44
5 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 48
5.1 Определение и примеры 49
5.2 Матрица линейного оператора 50
5.3 Самосопряженный оператор 55
Приложение 1 Перпендикуляр из точки на пространство 59
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 О приближенном вычислении собственных значений матрицы 63
Задания для самостоятельной работы 66
ТРЕНИНГ КОМПЕТЕНЦИЙ 72
ГЛОССАРИЙ 106
Дидактический план
Собственные числа и собственные векторы матрицы. Определения и примеры. Основные свойства собственных векторов. Характеристический многочлен и его корни. Собственное под-пространство, его размерность.
Симметричная
матрица, ее собственные числа и векторы.
Скалярное произведение в прост-ранстве
.
Процесс ортогонализации. Ортонормированный
базис. Ортогональная матрица. Сим-метричная
матрица, свойства ее собственных значений
и векторов. Существование ортонор-мированного
собственного базиса. Приведение
симметричной матрицы к диагональному
виду.
Квадратичная форма и ее приведение к каноническому виду. Определение. Координатная и матричная запись. Матрица квадратичной формы. Ее преобразование при линейной замене пере-менных. Канонический вид. Приведение к каноническому виду ортогональным преобразованием. Упрощение уравнения кривой второго порядка. Знак квадратичной формы. Критерий Сильвестра. Закон инерции.
Линейные пространства. Основные аксиомы и примеры. Подпространство. Линейная незави-симость. Линейная оболочка. Размерность подпространства. Матрица перехода. Евклидово прост-ранство.
Линейные операторы (преобразования). Определение и примеры. Матрица линейного преоб-разования. Связь между матрицами в различных базисах. Самосопряженный оператор, его мат-рица. Приведение симметричной матрицы самосопряженного оператора к диагональному виду.
Литература
Основная