1.2.10. Необходимый признак экстремума

Если в точке экстремума (x₀, y₀) функция f(x, y) имеет частные производные, то они необходимо равны нулю:

, . (1.28)

Доказательство. Рассмотрим сечение поверхности z = f(x, y) плоскостью x = x₀. На поверхности вырежется линия L – график функции одной переменной . Функция от имеет в точке y₀, т.е. в (x₀, y₀), экстремум того же характера, что и функция двух переменных f(x, y). Поэтому по необходимому признаку экстремума для функций одной переменной . Аналогично, рассматривая сечение y = y₀, устанавливается другое из условий (1.28).

Геометрически (1.28) означает, что касательная плоскость  к поверхности в точке , соответствующей точке экстремума (x₀, y₀), параллельна плоскости xOy (рис. 8).

Рис. 8

Точки, в которых выполняются условия (1.28), называются стационарными; стационарные точки и точки, в которых нет по крайней мере одной из частных производных, – критическими. Именно такие точки “подозрительны” относительно наличия в них экстремума.

1.2.11. Достаточный признак экстремума

Пусть в некоторой внутренней точке (x₀, y₀) области D функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно.

Если выполнены равенства (1.28) и выражение

, (1.29)

то в точке (x₀, y₀) – экстремум. При этом если наряду с (1.28) и (1.29) еще , то в (x₀, y₀) – максимум, а если , то в (x₀, y₀) – минимум.

Если же выполнены условия (1.28), но  < 0, то экстремума нет. В случае, когда  = 0, экстремум может быть, а может и не быть – здесь наш признак “молчит”.

Доказательство опустим.

1.2.12. Наибольшее и наименьшее значения в области

Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной в ограниченной замкнутой области, существуют. Где их искать? Среди критических точек внутри области, но они могут также оказаться и среди граничных точек.

Пример. Найти наибольшее значение функции z = (1 – x – y)xy в области D: x ³ 0, y ³ 0, 2 – x – y ³ 0 (рис. 9).

Рис. 9

Область ограничена осями координат и прямой x + y = 2; она замкнута.

Стационарные точки:

2x + y = 1;

x + 2y = 1.

Решаем систему:

– стационарная точка.

Исследование на границе: x = 0, z = 0, y = 0, z = 0; x + y = 2, . Таким образом, на границе z либо равно 0, либо принимает отрицательные значения. Значит, наибольшее значение – в стационарной точке и оно равно .

1.3. Функции трех и более переменных. Скалярное поле

1.3.1. Функция трех переменных

Пусть D – некоторое множество точек в трехмерном пространстве. Если каждой точке P Î D поставлено в соответствие по некоторому правилу число u: P ® u, то на множестве D задана функция u = f(P). Аргумент этой функции – точка P, значение – переменная величина u. Поскольку каждая точка P определяется тремя координатами x, y, z: P(x, y, z), то u есть функция трех независимых переменных, заданная на множестве D:

, (1.30)

где D – область определения функции f.

Пример. u – объем параллелепипеда со сторонами x, y, z: u = xyz. Функция задана на множестве точек (x, y, z), у которых . Область определения D этой функции – первый октант пространства.