1.2.6. Дифференцирование сложной функции
Пусть задана функция
z = f(u, v), (1.19)
но ее аргументы u и v сами являются функциями независимых переменных x и y:
z = f(u, v), u = (x, y), v = (x, y). (1.20)
Тогда
z = f(u, v) = f [ (x, y), (x, y)] (1.21)
– сложная функция
переменных x
и y.
Предполагаем все функции (1.20)
дифференцируемыми. Дадим x
б.м. приращение x.
Тогда u,
v,
z
получат соответствующие приращения
.
Имеем:
,
,
(1.22)
где
и
– б.м. высшего порядка относительно x.
Приращения u
и v
вызовут приращение
функции (1.19):
.
(1.23)
В (1.23) g
– б.м. высшего порядка относительно
и
,
а – как нетрудно
показать – б.м. высшего порядка
относительно x.
Из (1.23) получаем:
.
Аналогично выводится формула для . Выпишем эти формулы для дифференцирования сложной функции:
;
(1.24)
.
Пример.
.
Положим xy
= u,
x
– y
= v.
Тогда
,
;
.
1.2.7. Инвариантность формы записи дифференциала
Если бы в (1.19) u и v были независимыми переменными, то
.
(1.25)
Однако независимыми переменными служат x и y и тогда
. (1.26)
Из (1.20) получаем:
,
.
(1.27)
Используя (1.24) и (1.27), находим из (1.26)
,
т.е. форма полного дифференциала (1.25) не зависит от того, являются ли u и v независимыми переменными или функциями каких-то других аргументов.
1.2.8. Производные высших порядков
Возьмем и найдем ее частные производные по x и по y. Получим частные производные второго порядка: , (сначала дифференцируем по x, потом по y) (читается “дэ два зэт по дэ икс в квадрате”, “дэ два зэт по дэ икс, по дэ у”). Точно так же образуются
, .
Далее,
дифференцируя производные второго
порядка, можно образовывать производные
третьего
порядка:
,
(сначала два раза по x,
затем по y),
,
,
,
,
,
.
Другие обозначения
,
,
,
и т.п.
Конечно, все это в предположении, что функция f(x, y) такова, что указанные дифференци-рования действительно возможны.
Оказывается, что результат повторного дифференцирования, если рассматриваемые произ-водные непрерывны, не зависит от порядка, в котором дифференцирование выполнялось, а только от количества сделанных по каждой из переменных дифференцирований, т.е.
и
т.п.
Пример.
;
;
;
;
;
;
.
Оказалось,
.
1.2.9. Экстремумы функций двух переменных
Определение точек максимума и минимума для функции двух переменных дословно такое же, как для функций одной переменной. Следует лишь помнить, что теперь точка – это (x0, y0) (а не x0), а d-окрестность – круг радиуса d с центром в (x0, y0), а не интервал, содержащий x0. Поэтому мы воздержимся от повтора этих определений.