1.1.3. Геометрическое изображение функции двух переменных

Пусть в области D задана функция z = f(P). Поставим в каждой точке PÎD “столбик” высотой z = f(P) (откладываем z по оси Oz – оси аппликат). В результате над областью D “натянется крыша” – поверхность, опирающаяся на все построенные “столбики” (рис. 3).

Рис. 3

Конечно, некоторые части этой “крыши” окажутся не над D, а под D, если в соответствующих точках у функции отрицательные значения. Эта поверхность и есть геометрическое изображение функции z = f(P) = f(x, y). Уравнение z = f(x, y), связывающее три координаты (x, y, z) точек поверхности, – уравнение этой поверхности.

Пример. z = x² + y² – параболоид вращения (рис. 4).

Рис. 4

1.1.4. Линии уровня

Возьмем какое-либо значение z = C из области значений функции z = f(x, y). Совокупность точек на плоскости xOy, в которых принимается это значение, будет называться множеством уровня (уровня C). Чаще всего это линия, линия уровня C. Получается эта линия как проекция на плоскость xOy линии пересечения поверхности z = f(x, y) с горизонтальной плоскостью z = C (рис. 5).

Рис. 5

Для поверхности из предыдущего примера линиями уровня будут окружности , . При C = 0 окружность выродится в точку (0, 0). Нанеся на плоскость xOy достаточно частую сетку линий уровня, у каждой из которых проставлен ее уровень C, получим достаточно ясное представление о рельефе поверхности z = f(x, y). Этим часто пользуются в топографии: здесь, конечно, уравнение поверхности (холмов, впадин и т.п.) отсутствует, но из непосредственных измерений строится сетка линий уровня изучаемого рельефа, и эта сетка дает плоское изображение пространственного рельефа данной местности.

1.1.5. Предел и непрерывность функции двух переменных

Пусть функция f(P) = f(x, y) определена в некоторой области D, а точка P₀ – либо точка этой области, либо граничная для D; в самой точке P₀ функция может быть и не определена (если D – открытая область и P₀ лежит на ее границе). В соответствии с общими взглядами на предел приходим к такому определению: число a есть предел функции f(P) при (или в точке P₀), если для найдется d > 0 такое, что во всех точках P (кроме, быть может, самой точки P₀) области D, попавших в d-окрестность точки P₀, выполняется неравенство:

. (1.1)

То же самое в символической записи:

, (1.2)

где r(P, P₀) – расстояние от P до P₀.

Аналогичным образом можно определить, что означает .

Если теперь f(P) определена в замкнутой области , то она непрерывна в точке (неважно, внутренней или граничной), если

. (1.3)

Точки, в которых условие непрерывности (1.3) нарушено, называются точками разрыва. Для функций двух переменных точки разрыва могут заполнять целые линии.

Примеры.

1. . Функция определена во всех точках (x, y), у которых x ¹ y. На прямой y = x она не определена и поэтому эта прямая состоит из точек разрыва функции.

2. . Функция определена всюду, кроме точки (0, 0). Покажем, что не существует. Действительно, если P(x, 0) движется по оси абсцисс, то . Если же по оси ординат, то . Таким образом, ни для какого a угодить условию (1) невозможно.

3. Функция определена всюду в замкнутом круге и, как можно проверить, опираясь на обычные свойства предела, непрерывна в этом круге.