1. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

1.1. Функции двух переменных, непрерывность

1.1.1. Функции двух переменных

Пусть на плоскости xOy имеется некоторое множество точек D. Пусть каждой точке PÎD поставлено в соответствие по некоторому правилу число z: P®z. Тогда говорят, что на множестве D задана функция z = f(P). Аргументом этой функции служит геометрический объект: точка P, пробегающая множество D, а значением – величина (переменная) z. Однако положение каждой точки P определяется парой ее координат x и y: P(x,y). Координаты этой точки независимы друг от друга и поэтому можно сказать, что задана функция z = f(x,y) двух независимых переменных x и y.

Итак, переменная величина z называется функцией двух независимых переменных x и y: z = f(x, y) (или функцией точки P(x,y): z = f(P)), заданной на некотором множестве D, если по какому-то закону или правилу каждой паре x, y Î D (каждой точке PÎD) соответствует определенное значение z. Множество D называется областью определения функции. Множество значений z, принимаемых функцией z = f(P), когда P пробегает множество D, составляет область значений функции.

Пример. Пусть x и y – стороны прямоугольника, z – его площадь. Тогда z = xy – функция двух независимых переменных x и y, заданная на множестве (рассматриваем только невырожденные прямоугольники) – это первый квадрант плоскости xOy. Множеством значений z будет интервал (0, +∞).

Здесь область определения функции вытекала из конкретного смысла величин x и y. Закон же соответствия z = xy никаких ограничений не диктует и если бы мы не знали конкретного смысла x и y в этой задаче, то областью определения надо было считать всю плоскость xOy.

1.1.2. Области на плоскости

Для функций y = f(x) одной переменной в качестве области определения чаще всего выступали интервалы. Как обстоит дело для функций нескольких переменных? Назовем d-окрестностью точки (x₀, y₀) множество точек внутри круга радиуса d (d > 0) с центром в (рис. 1). (Окружность круга к окрестности не относим.)

Рис. 1

Точка (x₀, y₀) называется внутренней для множества D, если она принадлежит D вместе с некоторой своей d-окрестностью. Открытой областью назовем такое множество, что 1) любые его точки – внутренние и 2) любые две его точки можно соединить непрерывной линией, лежащей в D (рис. 2).

Рис. 2

Заметим, что радиусы d-окрестностей различных точек D различны. Чаще всего область – это часть плоскости, лежащая внутри замкнутого контура Г. Точка P₁ называется граничной для области D, если в любой d-окрестности этой точки есть как точки из D, так и точки, не принадлежащие D. Совокупность всех граничных точек составляет границу области (на рис. 2 это контур Г). Если к открытой области D присоединить ее границу Г, то получается замкнутая область .

В качестве области определения для функций двух переменных чаще всего выступают открытые или замкнутые области. Область D – ограниченная, если ее можно поместить в какой-нибудь круг. В примере из раздела 1.1.1 – неограниченная область.