Перечень компетенций

№ п/п

Умение

Алгоритм

1

Вычисление частных производных первого и второго порядков функ-ций двух переменных

1. Вычислить первые производные:

а) считая y постоянным, дифференцируем функцию y = f(x) по переменному x – находим частную производную по x;

б) частную производную по y – находим аналогично, фиксируя x.

2. Вычислить вторые производные и :

а) считая y постоянным, дифференцируем по переменному x – получаем ;

б) считая x постоянным, дифференцируем по переменному y – получаем .

3. Вычислить смешанные производные:

а) считая x постоянным, дифференцируем по переменному y – находим ;

б) считая y постоянным, дифференцируем по переменному x – находим ;

в) сравнивая полученные производные, убеждаемся, что

2

Записать уравнение каса-тельной плоскости и найти полный диффе-ренциал функции в точке

1. Вычислить частные производные и и .

2. Подставить полученные значения в уравнение касательной плоскости

.

3. Найти полный дифференциал

№ п/п

Умение

Алгоритм

3

Нахождение экстремума функции двух перемен-ных

1. Найти область определения.

2. Найти частные производные и .

3. Найти точки, в которых и равны нулю или не существуют, т.е. критические точки (необходимое условие наличия экстремума).

4. Найти , , .

5. Вычислить значения частных производных второго порядка в критических точках.

6. Использовать достаточное условие наличия экстремума. Составить

и вычислить его значения в критических точках M_k (k = 0,1,2,3…).

7. Сделать вывод о наличии экстремума:

– экстремум есть;

– нет экстремума;

– неопределенный случай, требующий дополнитель-ного исследования.

8. По знаку второй производной в точке M₀ установить характер экстремума:

а) – точка минимума;

б) – точка максимума.

9. Вычислить экстремальное значение функции.

4

Вычисление наиболь-шего и наименьшего значений функции в замкнутой области

1. Сделать чертеж области D.

2. Найти стационарные точки, лежащие внутри D.

3. Исследовать функцию на границе области. Подставить в функцию уравнение границы и найти наименьшее и наиболь-шее значения полученной функции одной переменной – параметра, к которому отнесены линии, ограничивающие область D.

4. Сравнить все вычисленные значения функции в отдельных точках и найти среди них наименьшее и наибольшее, которые и будут соответственно наименьшим и наибольшим значением функции в области D.

5

Вычисление производ-ной по направлению и градиента скалярного поля (для функций двух или трех переменных)

1. Вычислить частные производные функции u = f(x, y, z) по переменным x, y, z в точке P₀(x₀, y₀, z₀).

2. Вычислить градиент функции u = f(x, y, z) в точке P₀(x₀, y₀, z₀) по формуле:

№ п/п

Умение

Алгоритм

3. Вычислить производную по направлению в точке P₀(x₀, y₀, z₀):

;

направляющие косинусы находятся по формуле: , , , где ,

.

Примечание: В случае двух переменных применяем анало-гичные формулы:

, ,

где теперь , , , .

6

Написать уравнения ка-сательной плоскости и нормали к поверхности, заданной неявным урав-нением F(x, y, z) = 0

1. Вычислить и подставить в них координаты (x₀, y₀, z₀) заданной точки.

2. Записать уравнение касательной плоскости:

.

3. Записать уравнение нормали:

.

7

Написать уравнения каса-тельной прямой и нор-мальной плоскости к пространственной кри-вой, заданной параме-трически:

1. Определить значение параметра t₀, соответствующее задан-ной точке (x₀, y₀, z₀) на кривой.

2. Если задано значение t₀ параметра, то найти точку

.

3. Записать уравнение касательной прямой:

.

4. Записать уравнение нормальной плоскости:

^.

8

Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

1. Нарисовать область интегрирования.

2. Представить двойной интеграл в виде повторного, определив порядок интегрирования и расставив пределы интегрирования.

3. Вычислить повторный интеграл.