4. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 4 Задание
Найти наибольшее и
наименьшее значения функции
в замкнутом треугольнике, ограниченном
осями координат и прямой x
+ y
= 5.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Сделать чертеж области D |
|
2 |
Найти стационарные точки, лежа-щие внутри D |
Стационарная
точка
|
3 |
Исследовать функцию на границе области. Подставить в функцию уравнение границы и найти наи-меньшее и наибольшее значения полученной функции одной пере-менной – параметра, к которому отнесены линии, ограничивающие область D |
1. На оси Ox:
6x – 6 = 0, x = 1; z(1,0) = 2; на границах отрезка:
2. На оси Oy:
x
= 0,
Вычисляем значения функции в стационарной точке y = 2 и на границах отрезка при y = 0 и y = 5:
|
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
|
|
3. На отрезке прямой AB:
|
4 |
Сравнить все вычисленные значе-ния функции в отдельных точках и найти среди них наименьшее и наибольшее, которые и будут соот-ветственно наименьшим и наиболь-шим значением функции в области D |
Имеем:
Получаем: наименьшее значение
наибольшее значение
|
;
;
лежит внутри области.
,
;
;
.
.
.
;
,
y
= 2
,
,
.
;
,
;
;
на рассматриваемом
интервале, т.е. функция монотонна, а
концы интервала x
= 0 и x
= 5 дают уже встречающиеся точки A(5,
0)
и B(0,
5)
,
,
,
,
.
;
Найдите самостоятельно наибольшее и наименьшее значения функций:
4.1.
в круге
.
4.2.
в треугольнике, ограниченном прямыми
.
4.3.
в прямоугольнике, ограниченном прямыми
.
5. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 5 Задание
Для функции
в точке
найдите градиент и производную в
направлении
.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Вычислить частные
производные функции u
= f(x,
y,
z)
по переменным
x,
y,
z
в точке
|
|
2 |
Вычислить градиент функции u = f(x, y, z) в точке по формуле:
|
|
3 |
Вычислить
производную по направ-лению
в точке
направляющие
косинусы
где , . Примечание: В случае двух перемен-ных применяем аналогичные формулы: , , где теперь , , , |
|
:
;
находятся
по формуле:
,
,
,Найдите градиент скалярного поля:
5.1.
в точке (1, 2, –3).
5.2.
в точке (0, 0).
5.3.
в точке (1, –1, 2).
Найдите производную:
5.4. Скалярного поля
в точке (1, –2) в направлении вектора
.
5.5. Функции
в точке (–1, 1, –1) в направлении вектора
.
5.6. Функции
в точке (2, –2) в направлении ее градиента
в этой точке.
Найдите наибольшую скорость возрастания функции:
5.7.
при переходе через точку
.