2. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 2 Задание
Запишите уравнение
касательной плоскости и найдите полный
дифференциал функции
в точке
.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Вычислить частные производные , и |
= 2(–1) = – 2;
z0 = –1 |
2 |
Подставить полученные значения в уравнение касательной плоскости
|
|
3 |
Найти полный дифференциал
|
|
;
Вычислите самостоятельно полный дифференциал следующих функций:
2.1.
в точке
.
2.2.
в точке
2.3.
в точке
Найдите уравнение касательной плоскости следующих функций:
2.4. в точке
2.5.
в точке
3. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 3 Задание
Исследуйте на
экстремум функцию
.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Найти область определения |
|
2 |
Найти частные производные и |
|
3 |
Найти точки, в которых и равны нулю или не существуют, т.е. критические точки (необходимое условие наличия экстремума) |
Частные производные всюду существуют. Найдем точки, где они равны нулю:
Решив систему, получим координаты точек:
|
4 |
Найти , , |
|
5 |
Вычислить значения частных про-изводных второго порядка в крити-ческих точках |
|
6 |
Использовать достаточное условие наличия экстремума. Составить
и вычислить его значения в крити-ческих точках
|
|
;
;
,
,
,
;
;
;
;
;
;
;
;
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
7 |
Сделать вывод о наличии экстре-мума: – экстремум есть; – экстремума нет; – неопределенный случай |
В точках M0 , M1, M2 – экстремума нет; в точке M3 – экстремум есть |
8 |
По знаку второй производной в точке M установить характер экстремума: – точка минимума; – точка максимума |
M3 – точка максимума |
9 |
Вычислить экстремальное значение функции |
|
Исследуйте самостоятельно на экстремум следующие функции:
3.1.
.
3.2.
.
3.3.
.
3.4.
.
3.5.
.