Вариант 7
1. Найти область
определения функции
.
2. Построить линии
уровня функции
.
3. Вычислить частные
производные первых и вторых порядков
функции двух переменных
.
4. Вычислить полный
дифференциал функции
в точке
.
5. Исследовать на
экстремум функцию
.
6. Найти наибольшее
и наименьшее значения функции
в прямоугольнике, ограниченном прямыми
x
= –3, x
= 0, y
= 1, y
= –1.
7. Найти градиент
функции
в точке
.
8. Найти производную
функции
в направлении вектора
в точке
.
9. Написать уравнение
касательной плоскости к поверхности
в точке
.
10.
Вычислить двойной интеграл
,
где D
– область, ограниченная линиями x2
= y,
x
= 0, y
= 1.
Вариант 8
1. Найти область
определения функции
.
2. Построить линии
уровня функции
.
3. Вычислить частные производные первых и вторых порядков функции двух переменных z = cos(xy).
4. Вычислить полный дифференциал функции в точке .
5. Исследовать на
экстремум функцию
.
6. Найти наибольшее
и наименьшее значения функции
в прямоугольнике, ограниченном прямыми
x
= –1, x
= 1, y
= 0, y
= 4.
7. Найти градиент функции в точке .
8. Найти наибольшую скорость возрастания функции z = x2 – 2 xy + 3y при переходе через точку P0 (1, 2).
9.
Провести касательную прямую к плоской
линии, заданной уравнением
в точках (4,?).
10.
Вычислить двойной интеграл
,
где D
– область, ограниченная линиями y
= 0, x
= 2,
.
Вариант 9
1. Найти область
определения функции
.
2. Построить линии
уровня функции
.
3. Вычислить частные
производные первых и вторых порядков
функции двух переменных
.
4. Вычислить полный
дифференциал функции
в точке
.
5. Исследовать на
экстремум функцию
.
6. Найти наибольшее
и наименьшее значения функции
в прямоугольнике, ограниченном прямыми
x
= 1, x
= –1, y
= 0, y
= 5.
7. Найти градиент
функции
в точке
.
8. Найти наибольшую
скорость возрастания функции
при переходе через точку
.
9. Провести нормальную плоскость к кривой x = t, y = t2, z = –t3 в точке (1,1, –1).
10.
Вычислить двойной интеграл
,
где D
– область, ограниченная линиями y
= 4 – x2,
x
– y
+ 2 = 0.
Вариант 10
1. Найти область
определения функции
.
2. Построить линии
уровня функции
.
3.
Вычислить частные производные первых
и вторых порядков функции двух переменных
.
4. Вычислить полный
дифференциал функции
в точке
.
5. Исследовать на
экстремум функцию
.
6. Найти наибольшее
и наименьшее значения функции
в прямоугольнике, ограниченном прямыми
x
= 0, x
= 6, y
= –1, y
= 1.
7. Найти градиент
функции
в точке
.
8. Найти производную
функции
в направлении ее градиента в точке
.
9. Написать уравнение касательной плоскости к эллипсоиду в точке .
10. Вычислить двойной
интеграл
,
где D
– область, ограниченная линиями y
= x,
y
= 0, x
= 1.
ТРЕНИНГ КОМПЕТЕНЦИЙ
1. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 1
Задание
Вычислите производные
первых и вторых порядков функции
.
Решение
№ п/п |
Алгоритм |
Конкретное соответствие данного задания предложенному алгоритму |
1 |
Вычислить первые производные: а) считая y постоянным, дифференцируем функцию z = f(x, y) по переменному x – находим частную производную по x; б) частную производную по y – находим аналогично, фиксируя x |
а)
б)
|
2 |
Вычислить вторые производные и : а) считая y постоянным, дифференцируем по переменному x – получаем ; б) считая x постоянным, дифференцируем по переменному y – получаем |
а)
б)
|
3 |
Вычислить смешанные производные: а) считая x постоянным, дифференцируем по переменному y – находим ; б) считая y постоянным, дифференцируем по переменному x – находим ; в) сравнивая полученные производные, убеждаемся, что = |
а)
б)
; в) найденные производные равны |
;
;
;
Вычислите самостоятельно частные производные первого и второго порядков следующих функций:
1.1.
.
1.2.
.
1.3.
.
1.4.
.
1.5.
.
1.6.
.