3.11. Геометрические и физические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов

С применением кратных интегралов при нахождении площадей и объемов мы уже сталки-вались ранее (см. юниту 3). Перечислим следующие механические и физические приложения кратных интегралов.

1) Если – плотность плоской пластинки D, то ее масса

,

а координаты ее центра тяжести

.

2) Моменты инерции пластинки D, лежащей в плоскости xy, относительно координатных осей x и y выражаются соответственно формулами:

.

3) Если – плотность тела G в точке (x, y, z), то масса тела равна

,

а координаты центра тяжести вычисляются по формулам:

.

4) Моменты инерции тела G относительно координатных плоскостей xy, yz, zx выражаются соответственно формулами:

.

5) Момент инерции тела G относительно некоторой оси l вычисляется по формуле

,

где – расстояние от точки до оси l.

В частности, для координатных осей имеем:

.

6) Момент инерции тела G относительно начала координат вычисляется по формуле:

.

7) Потенциал поля тяготения, создаваемого телом G с плотностью , в точке равен

,

где – расстояние от переменной точки до фиксированной точки .

8) Если плотность распределения заряда в области G равна , то заряд, сосредоточенный в G, равен

,

а кулоновский потенциал, создаваемый этим зарядом в точке , равен

, где r – расстояние от точки (x, y, z) до точки .

Перечислим теперь некоторые физические приложения криволинейных и поверхностных интегралов.

9) Работа переменной силы , точка приложения которой описывает кривую Г, равна

.

Если силовое поле потенциально и – его потенциал, то работа, совершаемая полем при перемещении из точки P₁ в точку P₂, равна

.

10) Если есть поле скоростей жидкости, то количество жидкости, протекающее через поверхность , выражается формулой:

.

Соленоидальность поля скоростей в области означает отсутствие в этой области источников жидкости (расход жидкости через любую замкнутую поверхность, лежащую в области, равен нулю).

Задания для самостоятельной работы

1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:

2. Решите самостоятельно следующие задачи: Вариант 1

1. Найти область определения функции .

2. Построить линии уровня функции z = x + y.

3. Вычислить частные производные первых и вторых порядков функции двух переменных .

4. Вычислить полный дифференциал функции в точке .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике, ограниченном прямыми x = –1, x = 1, y = 0, y = 2.

7. Найти градиент функции в точке .

8. Найти производную функции в направлении вектора в точке .

9. Написать уравнение нормали к эллипсоиду в точке .

10. Вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная линиями y = x, y = 1, x = 0.