3.8. Формула Стокса

Всюду далее числовые функции, заданные в некоторой части пространства, будем называть скалярными полями, а векторные функции – векторными полями. Заданное в области G поле (скалярное или векторное) называется непрерывно дифференцируемым, если все его частные производные первого порядка непрерывны на G. Всякому непрерывно дифференцируемому на G скалярному полю соответствует непрерывное на G векторное поле его градиентов

.

Всякому же непрерывно дифференцируемому на G векторному полю можно поставить в соответствие следующие непрерывные на G скалярное поле и векторное поле

(P, Q, R есть координаты вектора ).

Скалярное поле называется дивергенцией векторного поля , а векторное поле называется вихрем (ротором) векторного поля .

Если Г – кусочно-гладкий замкнутый контур и векторное поле задано на Г, то криволинейный интеграл называется циркуляцией векторного поля по этому контуру. Если  – кусочно-гладкая поверхность, то для векторного поля , заданного на поверхности , поверхностный интеграл называется также потоком векторного поля через поверхность .

Пусть D – замкнутая плоская область, границей которой служит кусочно-гладкий контур Г₀. Рассмотрим гладкую поверхность . Обозначим Г образ контура Г₀ при отображении f. Контур Г есть край поверхности , тогда Г₀ – его проекция на плоскость Oxy. На контуре Г₀ выберем ориентацию, при которой он проходится против часовой стрелки. Ориентация Г₀ порождает ориентацию на Г. На поверхности  выберем ориентацию, при которой нормаль во всех точках поверхности образует острый угол с осью Oz:

.

Такие ориентации на поверхности  и ее крае Г называются согласованными (рис. 35).

Рис. 35

Теорема 4. Если векторное поле непрерывно дифференцируемо в некоторой области пространства, содержащей поверхность , то имеет место равенство

,

называемое формулой Стокса.

Эта формула означает, что поток вихря векторного поля через поверхность равен циркуляции векторного поля по краю поверхности, ориентированному согласованно с нормалью к поверхности.

В координатной записи формула Стокса имеет вид:

.

При вычислениях формулу Стокса обычно используют справа налево: по заданному векторному полю легко найти вихрь, но не наоборот. Кроме того, при использовании формулы Стокса для нахождения циркуляции вдоль заданного контура Г, в качестве  можно брать любую гладкую поверхность, стягивающую Г, на которой поле непрерывно дифференцируемо. Например, если контур Г плоский, то в качестве  можно взять плоскую поверхность, ограниченную этим контуром.

Пример. Вычислить интеграл , где Г – эллипс в сечении цилиндра плоскостью (пробегаемый против хода часовой стрелки, если смотреть из точки (2a, 0, 0)) (рис. 36).

Рис. 36

Решение. Имеем:

.

Тогда . В качестве поверхности , натянутой на контур Г, берем . По формуле Стокса исходный интеграл равен интегралу

.

3.9. Формула Остроградского–Гаусса

Теорема 5. Пусть G – замкнутая область в пространстве, ограниченная замкнутой кусочно-гладкой поверхностью , а векторное поле непрерывно дифференцируемо на G. Тогда имеет место равенство

,

где интеграл в правой части берется по внешней стороне (нормаль направлена во внешность области) поверхности , ограничивающей область G. Это равенство называется формулой Остроградского–Гаусса и означает, что интеграл по области от дивергенции векторного поля равен потоку этого поля через поверхность, ограничивающую область, в направлении внешней нормали. В координатной форме формула Остроградского–Гаусса выглядит следующим образом:

.

Формулу Остроградского–Гаусса чаще используют при вычислении поверхностных интегралов, сводя их к тройным.

Пример. Вычислить интеграл , где  – внешняя сторона границы куба .

Решение. Имеем . Тогда . В силу формулы Остроградского–Гаусса исходный интеграл равен интегралу

.

Формулу Остроградского–Гаусса можно использовать и слева направо. Так, положив в ней , получим выражение для объема области в виде поверхностного интеграла:

.