3.6. Формула Грина

Теорема 3. Если D – замкнутая плоская область, ограниченная кусочно-гладким контуром Г; функции P(x, y) и Q(x, y) непрерывны в D вместе со своими частными производными и , то имеет место формула Грина:

,

где в криволинейном интеграле справа граница Г обходится против часовой стрелки.

Формулу Грина можно использовать в обеих направлениях: с одной стороны, она позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к вычислению двойного; с другой стороны, часто оказывается проще вычислить соответствующий криволинейный интеграл. В качестве примера рассмотрим формулу для площади плоской области. Для этого в формуле Грина положим , . Тогда будем иметь и

, или

.

Итак, для нахождения площади плоской области следует вычислить криволинейный интеграл вдоль ориентированной против часовой стрелки границы Г.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом .

Решение. Воспользовавшись параметрическим представлением эллипса x = a cos t, y = b sin t, (0 £ t £ 2) будем иметь:

.

3.7. Определение поверхностного интеграла, его свойства

Рассмотрим гладкую поверхность , где функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывные частные производные в ограниченной замкнутой области D. Всякую непрерывную единичную нормаль на поверхности назовем ориентацией поверхности. Но в каждой точке поверхности  имеются лишь две единичные нормали: и , поэтому у поверхности  есть только две ориентации и . В том случае, когда выбирается нормаль , будем говорить о верхней стороне поверхности , если же выбирается нормаль – о нижней стороне.

Предположим, что на поверхности  задана вектор-функция , являющаяся непрерывной функцией переменных . Умножив в каждой точке поверхности вектор скалярно на , получим непрерывную на D числовую функцию .

Разобьем произвольным образом область D на части D_i площадью и выберем точки . Площадь части поверхности , которая проецируется на D_i, приближенно равна

(степень приближения зависит от мелкости разбиения; написанное выражение есть в точности площадь куска проведенной в точке (M_i, f(M_i)) касательной плоскости, который проецируется на D_i).

Умножим теперь значение функции в точке M_i на площадь и просуммируем по всем элементам разбиения. Используя координатную запись, будем иметь:

.

Таким образом, есть интегральная сумма непрерывной на D функции . Следовательно, существует предел таких сумм при мелкости разбиений, стремящейся к нулю. Этот предел называется поверхностным интегралом от вектор-функции по верхней стороне поверхности  и обозначается или . Используя вектор вместо , получим определение поверхностного интеграла по нижней стороне поверхности . Итак,

.

Поверхностный интеграл, конечно, обладает свойствами линейности, аддитивности и, кроме того, меняет знак при изменении ориентации поверхности.

Мы рассмотрели случай, когда поверхность однозначно проецируется на область D координатной плоскости Oxy. В случае, если поверхность однозначно проецируется на область D, например координатной плоскости Oxz, и является графиком непрерывно дифференцируемой функции , формула для вычисления поверхностного интеграла примет следующий вид:

(знак “+” выбирается в случае, когда нормаль составляет острый угол с положительным направлением оси Oy; в противном случае берется знак “–”).

Произвольную гладкую поверхность  всегда можно разбить на конечное число частей , допускающих явное задание. По определению получаем:

.

Ориентация каждой части должна, конечно, соответствовать исходной ориентации на .

Аналогично поступают и в случае кусочно-гладкой поверхности  – результата “склейки вдоль краев” конечного числа гладких поверхностей . Интеграл по такой поверхности определяется как сумма интегралов по гладким частям (при этом все должны быть согласованно ориентированы).

Пример. Вычислить интеграл по верхней стороне параболоида .

Решение. Имеем , и

.