- •Юнита 6
- •Оглавление
- •Дидактический план
- •Литература*1
- •Перечень компетенций
- •1. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •1.1. Функции двух переменных, непрерывность
- •1.1.1. Функции двух переменных
- •1.1.2. Области на плоскости
- •1.1.3. Геометрическое изображение функции двух переменных
- •1.1.4. Линии уровня
- •1.1.5. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.1.6. Свойства непрерывных функций
- •1.1.7. Приращения независимых переменных и приращение функции
- •1.2. Дифференциальное исчисление функций двух переменных
- •1.2.1. Частные производные
- •1.2.2. Геометрический смысл частных производных
- •1.2.4. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал
- •1.2.5. Геометрический смысл полного дифференциала
- •1.2.6. Дифференцирование сложной функции
- •1.2.7. Инвариантность формы записи дифференциала
- •1.2.8. Производные высших порядков
- •1.2.9. Экстремумы функций двух переменных
- •1.2.10. Необходимый признак экстремума
- •1.2.11. Достаточный признак экстремума
- •1.2.12. Наибольшее и наименьшее значения в области
- •1.3. Функции трех и более переменных. Скалярное поле
- •1.3.1. Функция трех переменных
- •1.3.2. Внутренние и граничные точки
- •1.3.3. Поверхности уровня
- •1.3.4. Функции любого числа переменных
- •1.3.5. Предел, непрерывность, частные производные для функции нескольких переменных
- •1.3.6. Касательная прямая и нормаль к графику неявной функции
- •1.3.7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной неявным уравнением
- •1.3.8. Скалярное поле
- •1.3.9. Производная по направлению
- •1.3.10. Градиент скалярного поля
- •2. Дополнительные вопросы приложений дифференциального исчисления к геометрии
- •2.1. Плоские кривые. Кривизна
- •2.1.1. Дифференциал длины дуги
- •2.1.2. Кривизна плоской линии
- •2.1.3. Радиус кривизны. Круг и центр кривизны
- •2.2. Пространственные кривые
- •2.2.1. Векторное уравнение пространственной кривой
- •2.2.2. Касательная к пространственной кривой
- •2.2.3. Нормальная плоскость
- •2.2.4. Дифференциал длины дуги
- •2.2.5. Натуральные уравнения кривой. Главная нормаль
- •2.2.6. Кривизна пространственной кривой
- •2.2.7. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение
- •2.2.8. Скорость и ускорение точки, движущейся по кривой
- •2.2.9. О касательной плоскости к поверхности
- •3. Кратные и криволинейные интегралы
- •3.1. Определение кратного интеграла, условие существования и свойства кратного интеграла
- •3.2. Сведение кратного интеграла к повторному
- •3.3. Замена переменных в кратном интеграле
- •3.4. Площадь поверхности
- •3.5. Определение криволинейного интеграла, его свойства
- •3.6. Формула Грина
- •3.7. Определение поверхностного интеграла, его свойства
- •3.8. Формула Стокса
- •3.9. Формула Остроградского–Гаусса
- •3.10. Соленоидальные и потенциальные векторные поля
- •3.11. Геометрические и физические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов
- •Задания для самостоятельной работы
- •1. Составьте логическую схему базы знаний по теме юниты:
- •2. Решите самостоятельно следующие задачи: Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
- •Вариант 4
- •Вариант 5
- •Вариант 6
- •Вариант 7
- •Вариант 8
- •Вариант 9
- •Вариант 10
- •2. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 2 Задание
- •Решение
- •3. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 3 Задание
- •Решение
- •4. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 4 Задание
- •Решение
- •5. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 5 Задание
- •Решение
- •6. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 6 Задание
- •Решение
- •7. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 7 Задание
- •Решение
- •8. Пример выполнения упражнения тренинга на компетенцию 8 Задание
- •Решение
- •Глоссарий
- •Математический анализ юнита 6
Дидактический план
Функция двух и нескольких переменных. Типы многомерных областей. Предел и непре-рывность. Полное и частное приращения. Частные производные. Касательная плоскость, ее уравнение. Дифференцируемость функций двух переменных. Полный дифференциал, его геоме-трический смысл, применение в приближенных вычислениях. Точки экстремума, необходимый и достаточный признаки.
Скалярное поле. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению. Градиент и его свойства. Дальнейшие приложения дифференциального исчисления к геометрии. Кривизна плоских линий, круг кривизны и центр кривизны. Векторное уравнение пространственной кривой. Производная векторной функции как направляющий вектор касательной прямой. Кривизна пространственной кривой (как предел средней кривизны). Нормальная плоскость. Главная нормаль, бинормаль, кручение, соприкасающаяся плоскость (понятия).
Двойные и тройные интегралы, их определение, свойства и вычисление сведением к повторному. Замена переменных в кратных интегралах. Площадь поверхности. Механические приложения кратных интегралов: масса и центр тяжести неоднородного тела.
Криволинейный интеграл от вектор-функции, его определение, свойства и вычисление. Работа векторного поля. Формула Грина.
Поверхностный интеграл от вектор-функции, его определение, свойства, вычисление. Поток векторного поля.
Дифференциальные операции над скалярными и векторными полями: градиент скалярного поля, дивергенция и вихрь векторного поля. Формула Стокса. Формула Остроградского–Гаусса. Соленоидальные и векторные поля.
Литература*1
Бугров, Я. С. Высшая математика [Текст] : в 3 т / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. – М. : Дрофа, Т. 1, 2006. Т. 2, 2007. Т. 3, 2005. (Гриф МО РФ).
Данилов Ю. М., Журбенко Л. Н., Никонова Г. А., Никонова Н. В., Нуриева С. Н. Математика. Гриф МО РФ [Текст]: Учеб. пособие - ("Высшее образование") / Данилов Ю.М., Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Нуриева С.Н. - М.: ИНФРА-М,-2009. - ISBN: 978-5-16-002673-2.
Ермаков В.И. Справочник по математике для экономистов. Гриф МО РФ [Текст]: Учебное пособие - 3-е изд., перераб. и доп. - ("Высшее образование") / Ермаков В.И. - М.: ИНФРА-М,-2009. - ISBN: 978-5-16-003542-0.
Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Дегтярева О.М. Математика в примерах и задачах. Гриф МО РФ [Текст]: Учеб. пособие - ("Высшее образование") / Журбенко Л.Н., Никонова Г.А., Никонова Н.В., Дегтярева О.М. - М.: ИНФРА-М,-2009. - ISBN: 978-5-16-003449-2.
Ильин, В. А. Высшая математика [ЭР] : учебник для ВУЗов / В. А. Ильин, А. В. Куркина. - М. : Проспект, 2008. (с грифом УМО).
Клюшин В. Л. Высшая математика для экономистов. Гриф МО РФ [Текст]: Учеб. пособие - ("Учебники РУДН") / Клюшин В.Л. - М.: ИНФРА-М,-2009. - ISBN: 978-5-16-002752-4.
Кудрявцев, Л. Д. Краткий курс математического анализа [ЭР] / Л. Д. Кудрявцев. - М. : Физматлит, 2005. Т. 2. (с грифом УМО) Электронная библиотека "Мир книг" (www.mirknig.su).
Кудрявцев, Л. Д. Математический анализ [Текст] : в 3 т / Л. Д. Кудрявцев. - М. : Дрофа, Т. 1, 2004. Т. 2, 2004, Т. 3, 2006. (с грифом МО РФ).
Кузнецов, Б. Т. Математика [Текст] : учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления / Б. Т. Кузнецов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2004. - 719 с. - ISBN 5-238-00754-Х.
Малыхин В. И. Высшая математика. Гриф МО РФ [Текст]: Учебное пособие - 2-е изд., перераб. и доп. - ("Высшее образование") / Малыхин В.И. - М.: ИНФРА-М,-2009. - ISBN: 5-16-002625-8.
Пискунов, Н. С. Дифференциальные и интегральные исчисления [Текст] : в 2 т / Н. С. Пискунов. – М. : Интеграл-Пресс, 2007. (Гриф МО РФ).
Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления [Текст] : в 3 т / Г. М. Фихтенгольц. - М. : Физматлит, Т. 1, 2007. Т. 2 , 206. Т. 3, 2008. (Гриф МО РФ).