3.3. Замена переменных в кратном интеграле

Формулу замены переменных в двойном интеграле рассмотрим на примере вычисления двойного интеграла в полярных координатах.

Пусть на плоскости задана декартова система координат Oxy. Введем на плоскости полярную систему координат, взяв за полюс начало координат, а за полярную ось – ось x. Полярными координатами точки называется пара , где – расстояние от точки до полюса, а – угол, который образует с полярной осью радиус-вектор точки. Полярные координаты однозначно определяют положение точки на плоскости. Связь между декартовыми и полярными координатами представляется формулами , (рис. 31).

Рис. 31

Пусть D – ограниченная замкнутая область на плоскости xOy, уравнение границы которой имеет вид , а сама область D состоит из точек, для которых . При вычислении двойного интеграла от непрерывной функции f(x, y) по области D можно пользоваться формулой перехода к полярным координатам:

.

При использовании данной формулы надо вместо аргументов x и y исходной функции подставить выражения , полученную функцию переменных  и j умножить на  и проинтегрировать по области D, перейдя в неравенстве для области к полярным координатам.

Поясним появление множителя  в подынтегральном выражении. Используя независимость двойного интеграла от способа разбиения, будем разбивать область интегрирования на части D_i координатной сеткой полярной системы координат, т.е. концентрическими окружностями с центром в начале координат и лучами, исходящими из начала координат. Рассмотрим те элементы разбиения D_i, которые не пересекаются с границей области. При достаточно мелком разбиении их можно считать прямоугольниками со сторонами и (рис. 32). С другой стороны, слагаемые в интегральной сумме, отвечающие тем D_i, которые пересекаются с границей области, при измельчении разбиений не окажут влияния на величину предела. Поэтому интегральную сумму можно заменить на , где .

Рис. 32

Последняя есть интегральная сумма функции , определенной на соответствующей области D части плоскости переменных , j, где роль декартовой системы координат играют полярные координаты. При мелкости разбиений, стремящейся к нулю, она имеет своим пределом двойной интеграл .

Переход к полярным координатам часто приводит к упрощению подынтегрального выражения и (или) области интегрирования.

Пример 1. Вычислить интеграл от функции по кругу .

Решение. Используя формулу перехода к полярным координатам, будем иметь:

.

При вычислении тройных интегралов часто пользуются цилиндрическими или сферическими координатами.

Зафиксировав в пространстве декартову систему координат Oxyz, цилиндрическими координатами точки назовем тройку , где – полярные координаты проекции точки на плоскость Oxy (рис. 33). Сферическими координатами точки называется тройка , где – расстояние от точки до начала координат, – то же, что и в случае цилиндрических координат, – угол, образованный радиус-вектором точки и плоскостью (рис. 34).

Рис. 33 Рис. 34

Связь между сферическими и декартовыми координатами выражается формулами , .

При вычислении тройного интеграла в цилиндрических координатах пользуются формулой:

,

а в сферических координатах – формулой:

,

где – соответствующая области G часть пространства переменных или .

Аналогично двойному интегралу возникновение множителей  и при переходе к цилиндрическим и сферическим координатам становится понятным, если использовать специальное разбиение области на части координатной сеткой соответствующей системы координат. Так, при малых объем параллелепипеда цилиндрической системы координат есть , а при малых объем параллелепипеда

сферической системы координат есть .

Приведем пример вычисления тройного интеграла в сферических координатах.

Пример 2. Вычислить интеграл от функции

по шару .

Решение. Имеем:

.