3.2. Сведение кратного интеграла к повторному
Основной способ вычисления кратного интеграла состоит в последовательном интегриро-вании по каждой из переменных.
Плоскую область D вида
,
где
и
– непрерывные на [a,
b]
функции, назовем правильной в направлении
оси Oy
(рис. 25). Предположим, что функция f(x,
y)
непрерывна в такой области D.
Для любого фиксированного x
= x0,
рассмотрим функцию f(x0,
y)
от одной переменной y,
непрерывную на отрезке
.
Для нее существует определенный интеграл
.
Этот интеграл, конечно, зависит от точки
x0.
Обозначим его
.
Можно показать, что функция
,
определенная на отрезке [a,
b],
непре-рывна на нем. Интеграл
от этой функции называется повторным
интегралом от функции f(x,
y)
по области D,
и обозначается
.
Рис. 25
Теорема 2. Если функция f(x, y) непрерывна в области , то
,
т.е. двойной интеграл равен повторному интегралу. Таким образом, для вычисления двойного интеграла по правильной в направлении оси Oy области следует вначале, считая x постоянным, проинтегрировать функцию по переменной y, после чего проинтегрировать получившуюся функцию переменной x. Заметим, что если пределы во внешнем интеграле постоянные, то во внутреннем интеграле они, вообще говоря, зависят от x.
Если область D
правильная в направлении оси Ox:
,
то двойной интеграл
равен повторному интегралу
.
Пример 1.
Вычислить двойной интеграл от функции
по конечной области D,
ограниченной параболой
и прямой y
= 1 (рис. 26).
Рис. 26
Решение. Имеем:
.
Поэтому
.
Если требуется вычислить интеграл по области, не являющейся правильной ни в направлении оси Ox, ни в направлении оси Oy, надо попытаться разбить область на конечное число частей, каждая из которых уже будет правильной в направлении какой-либо координатной оси (рис. 27). Если это удастся сделать, то, в силу аддитивности интеграла, вычисление данного интеграла сведется к вычислению интегралов по указанным частям, каждый из которых может быть представлен в виде повторного.
Рис. 27
Перейдем теперь к вопросу вычисления тройного интеграла.
Правильной относительно оси Oz называется трехмерная область G вида
,
где j
и y
– непрерывные в ограниченной замкнутой
области D
плоскости xOy
функции (рис. 28). Предположим, что функция
f(x,
y,
z)
непрерывна в такой области G.
Зафиксировав произвольным образом
точку
,
рассмотрим функцию
одной переменной z,
непрерывную на
отрезке
.
Возьмем от этой функции определенный
интеграл
(он существует в силу непрерывности
функции). Этот интеграл зависит от точки
(x0,
y0).
Обозначим его
.
Определенная на D
функция двух переменных
оказывается непрерывной на D.
Интеграл
называют повторным
интегралом и
обозначают
.
Для тройных интегралов имеет место
утверждение, аналогичное теореме 2: если
функция f(x,
y,
z)
непрерывна в области
,
то
,
т.е. тройной интеграл равен повторному.
Рис. 28
Таким образом, для вычисления тройного интеграла по области, правильной в направлении оси Oz, следует вначале, считая x и y постоянными, проинтегрировать по переменной z, а затем от получившейся функции переменных x и y взять двойной интеграл по проекции области на плоскость xOy.
Если далее предположить, что область D является правильной в направлении, например, оси Oy:
,
то, записав двойной интеграл по области D в виде повторного, будем иметь:
.
Если обозначить через E(x0) сечение области G плоскостью x = x0, , то, объединяя в интеграле справа два внутренних интегрирования по переменным y и z, получим формулу:
.
Как видим, для тройного интеграла имеется два способа сведения к повторному интегралу.
В частном случае
получаем формулы для нахождения объема
V
области G:
,
где S(x) – площадь сечения E(x). Последнее равенство представляет собой уже известное соотно-шение (см. юниту 3), по которому объем тела равен одномерному интегралу от площади переменного сечения.
Пример 2.
Вычислить тройной интеграл от функции
по конечной области G,
ограниченной поверхностями
и z
= 0 (рис. 29).
Рис. 29
Решение.
Имеем
и
.
Поэтому
.
Пример 3. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями и z = 1 (рис. 30).
Решение.
Имеем
.
Поэтому
– круг радиуса
,
и, следовательно,
.
Тогда
.
Рис. 30