2.2.6. Кривизна пространственной кривой

Найдем . Перейдем из начального положения M (дуговая координата S) в положение M₁ (дуговая координата S + S). Касательный вектор в M перейдет в касательный вектор точки M₁. Таким образом, произошел поворот касательного вектора (рис. 23) на угол ; этот угол называют углом смежности (чтобы обозначить этот угол, вектор перено-сится в точку M₁).

Рис. 23

Происшедший поворот касательного вектора характеризует изогнутость кривой (будь она прямой линией, было бы  = 0). Отношение называется (как и в случае плоской кривой) средней кривизной кривой на участке S:

.

Предел называется кривизной кривой в точке M:

. (2.21)

Следовательно, кривизна – это скорость изменения угла смежности касательных относи-тельно длины дуги.

Треугольник со сторонами – равнобедренный, так как и имеет угол при вершине . Из этого треугольника находим: . Вычисляем предел:

. (2.22)

Таким образом, вектор направлен по главной нормали и имеет модуль, равный кривизне. Величину, обратную K, называют, как и в плоском случае, радиусом кривизны R:

. (2.23)

Если обозначить орт (единичный вектор) главной нормали через , то

. (2.24)

В случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями (2.11), формула для кривизны K имеет более сложный вид, чем (2.22) (см. [2]).

2.2.7. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение

Плоскость, содержащая касательную прямую и главную нормаль, называется соприка-сающейся плоскостью кривой L (в данной точке). Можно показать, что соприкасающаяся плоскость кривой L в точке получается следующим образом. Возьмем три точки M₁, M, M₂ на L и проведем через них плоскость Q. При и , т.е. когда эти три точки стремятся слиться в точке M, плоскость Q стремится занять некоторое предельное положение. Это предельное положение и есть соприкасающаяся плоскость к L в точке M. Если кривая плоская, то соприкасающаяся плоскость в любой ее точке та, в которой лежит кривая. Если при переходе от точки M к точке M₁ на кривой двугранный угол между соприкасающимися плоскостями в M и M₁ есть , то дробь показывает меру отличия изучаемой пространственной кривой от плоской на участке S.

(2.25)

называется кручением кривой в точке M. Кручение характеризует отличие пространственной линии от плоской, в то время как кривизна – отличие линии от прямой (все в данной точке M). Если возьмем векторное произведение

(2.26)

ортов касательной и главной нормали , то получим орт бинормали. Бинормаль перпендикулярна и касательной, и главной нормали и, значит, перпендикулярна соприкасающейся плоскости. Лежит бинормаль в нормальной плоскости.

Угол  из (2.25) может быть измерен как угол между двумя положениями бинормали: в M и M₁ (подробно см. [2]).