2.2.2. Касательная к пространственной кривой

Рассмотрим линию L, задаваемую векторной функцией (2.12). Как обычно, касательная прямая определяется как предельное положение секущей. Возьмем точку , которая соответствует начальному значению t₀ параметра. Дадим t приращение t. Значению t₀ + t отвечает значение радиуса-вектора, определяющее точку M на линии L.

Тогда (рис. 21):

;

;

.

Рис. 21

Функции здесь и далее считаем дифференцируемыми и поэтому все дальнейшие выкладки законны:

.

Получившееся выражение и следует понимать как и считать производной от векторной функции

, вычисленной при t = t₀:

. (2.13)

При точка и вектор , идущий по секущей M₀M, стремится к предельному положению , которое тем самым идет по касательной к линии. Итак, производная служит направляющим вектором касательной прямой. Поэтому уравнения касательной можно записать в виде:

, . (2.14)

Здесь (X, Y, Z) – координаты текущей точки касательной, а x₀, y₀, z₀ – координаты точки касания.

Более внимательное рассмотрение вектора показывает, что он направлен в сторону движения по кривой, соответствующего возрастанию параметра t (t > 0). Поэтому и предельное положение этого вектора направлено в сторону, соответствующую движению по L, отвечающему возрастанию t.

2.2.3. Нормальная плоскость

Плоскость, проведенная через точку касания M₀ перпендикулярно касательной прямой называется нормальной плоскостью к кривой в этой точке. Ее уравнение имеет вид:

, (2.15)

где t₀ – значение параметра, отвечающее точке ; x₀, y₀, z₀ – координаты M₀; x, y, z – координаты текущей точки плоскости.

2.2.4. Дифференциал длины дуги

Из формулы (2.13) получаем, что (t – произвольное значение параметра):

;

. (2.16)

Будем от некоторой начальной точки A на кривой L отсчитывать длину дуги до произвольной точки (рис. 22).

Рис. 22

Вернувшись к рис. 21, видим, что стягивается вектором . При считаем, как обычно, что две б.м. S и эквивалентны. Тогда:

,

(2.17)

( и т.д.).

Формула (2.17) – обобщение формулы (2.3) для плоских кривых из раздела 1.1.

2.2.5. Натуральные уравнения кривой. Главная нормаль

Наиболее удобным по ряду причин является случай, когда в параметрических уравнениях (2.11) в качестве параметра взята длина дуги S на этой кривой:

. (2.18)

Такие уравнения называют натуральными уравнениями кривой. В этом случае, как следует из сравнения (2.17) и (2.16)

, (2.19)

т.е. производная является вектором единичной длины, направленным по касательной (ортом касательной) в сторону движения, отвечающего возрастанию S.

Обозначим этот вектор через и найдем , т.е. . Исходим из того, что скалярное произведение . Дифференцируется скалярное произведение двух векторных функций по тем же правилам, что и произведение обычных функций:

.

Скалярное произведение двух векторов равно нулю, если эти векторы перпендикулярны. Таким образом:

или . (2.20)

Прямая, по которой направлен вектор , называется главной нормалью линии. Естественно, она расположена в нормальной плоскости (2.15) к линии.