2. Дополнительные вопросы приложений дифференциального исчисления к геометрии

2.1. Плоские кривые. Кривизна

2.1.1. Дифференциал длины дуги

Рассмотрим график L дифференцируемой функции y = f(x). Положение точки на кривой L будем задавать, указывая длину S дуги кривой от некоторой начальной точки A до взятой точки.

На рис. 14 взята точка M₀, S – длина дуги от A до M₀ (S называют дуговой координатой точки M₀). Дадим независимой переменной приращение x. На графике возникнет новая точка M, а дуга S изменится на S – приращение длины дуги. Поскольку функция у нас дифференцируемая, то можно доказать, что

при – хорда). (2.1)

Рис. 14

Из рис. 14 видно, что . Мы можем теперь вычислить производную от дуги S по независимой переменной x (в точке x₀):

( при ). (2.2)

Отсюда дифференциал длины дуги

, так как . (2.3)

Из (рис. 15) видим:

.

Рис. 15

Таким образом, dS – отрезок касательной прямой. Поскольку дифференциал эквивалентен приращению при , то из рис. 15 следует

хорде M₀M.

Если кривая L задана параметрическими уравнениями

, , (2.4)

то из (3) получим такую формулу для dS:

. (2.5)

2.1.2. Кривизна плоской линии

Поскольку в бесконечно малых участках кривая очень хорошо заменяется отрезками своих касательных прямых, за меру искривленности того или иного участка кривой можно было бы принять угол, на который повернулась касательная прямая на этом участке. Рассмотрим рис. 16.

Рис. 16

Каждая из изображенных там дуг в начальной своей точке касается прямой, наклоненной под углом , а в конечной – прямой с углом наклона . Таким образом, касательная для каждой из этих дуг поворачивается на угол  – . И все-таки ощущается, что большие дуги на этом рисунке более пологие, а малые поворачиваются быстрее, более изогнуты. В чем дело? Для больших дуг этот поворот происходит на участке, имеющем большую длину, чем для малых. Один и тот же поворот вызван перемещением на разную длину для разных кривых. Поэтому, чтобы получить более правильное представление об изогнутости кривой, угол поворота касательной соотносят с длиной соответствующего участка кривой.

На рис. 17 касательная на участке M₀M длины S повернулась на угол a. Число

(2.6)

принимается за среднюю кривизну этого участка, а кривизна в какой-то точке M₀ это:

. (2.7)

Обозначение модуля стоит потому, что в этом вопросе важна именно абсолютная величина , а не знак. Вычислим кривизну. Мы помним, что . Поэтому ,

.

Мы воспользовались (2.2) и формулой производной для арктангенса. Итак,

. (2.8)

Для параметрически заданной кривой формула (2.8) пересчитывается следующим образом:

. (2.9)

Из (2.7) следует, что K есть скорость изменения угла наклона касательной относительно изменения длины кривой.

Для окружности радиуса R средняя кривизна любой дуги (независимо от ее длины) ; но тогда и кривизна K в любой точке, поскольку , будет такая же: .

Действительно (рис. 18), возьмем дугу . При ее обходе радиус повернется на угол , а длина ее будет R. Касательная при обходе дуги также повернется на угол  (в силу перпендикулярности касательной к радиусу получаются углы с попарно перпендикулярными сторонами). Значит, и .

Рис. 18

Прямая линия представляется уравнением y = ax + b. Поэтому и согласно (2.8) в любой точке K = 0. Для любой кривой в точках, где , будет K = 0. В частности, так будет в точках перегиба кривой. В этих точках кривая является “более прямой”, чем в остальных.