1.3.8. Скалярное поле
Пусть D – некоторая область на плоскости или в пространстве. Если в ней задана функция u = f(x, y) (D – на плоскости) или u = f(x, y, z) (D – пространственная область), то говорят еще, что в области D задано (наведено) скалярное поле. Например, u – температура в точках D (поле температур) или u – давление жидкости или газа в точках сосуда D (поле давлений). При такой трактовке линии уровня (плоский случай) или поверхности уровня (пространственное поле) функции u приобретают важный физический смысл. Для поля температур – это изотермы: линии (поверхности) одинаковой температуры, для поля давлений – изобары: линии (поверхности), на которых давление одинаково.
1.3.9. Производная по направлению
При изучении скалярного поля бывает важно иметь информацию о скорости изменения величины поля в том или ином направлении. Это приводит к понятию производной по направлению. Рассмотрим случай плоского поля (рис. 10).
Рис. 10
В области D
задано поле величины u
= f(x,
y).
Надо определить в данной точке
скорость изменения поля в заданном
направлении
.
Направление характеризуется вектором,
составляющим угол
с осью Ox.
Переместимся из точки (x0,
y0)
в направлении вектора
на величину l.
Попадаем в точку
,
где (см. рис.10)
,
.
Изменение функции u
на пути l
есть
[считаем функцию
дифференцируемой,
и
вычислены в начальной точке (x0,
y0)].
Средняя скорость
изменения u
на пути l
будет
,
а скорость в точке P0:
.
(1.34)
называется производной
по направлению
l
и определяет скорость изменения
функции в этом
направлении. Эта производная обозначается
:
. (1.35)
Теперь мы можем
трактовать частные производные
,
как производные по направ-лениям
(положительным!) осей Ox
и Oy.
Производная в отрицательном направлении
оси Ox,
например, будет –
(
).
В случае пространственного поля u = f(x, y, z) вектор направления характеризуется углами a, , , составленными им с осями координат. Рассуждая как выше, мы найдем:
.
(1.36)
1.3.10. Градиент скалярного поля
В каждой точке (x,
y)
области D,
где задана функция u
= f(x,
y)
(скалярное поле), определим вектор
,
координатами которого будут частные
производные u,
вычисленные в этой точке:
,
– орты осей. (1.37)
Вектор называется градиентом функции u. В каждой точке D значение градиента, вообще говоря, свое и мы получаем в D поле новой природы – векторное поле градиента функции u (рис. 11).
Рис. 11
Градиент обладает рядом полезных свойств:
1) производная по
направлению есть проекция градиента
на это направление. (Конечно, речь идет
о производной и градиенте для одной и
той же точки.) Будем считать, что вектор
,
задающий направление, имеет длину
единица. Тогда
.
Проекция
на направление
равна скалярному произведению этих
векторов;
– скалярное произведение.
.
(Скалярное произведение векторов есть сумма произведений их одноименных координат);
2) в данной точке
наибольшая скорость изменения функции
u
происходит в направлении ее градиента
(рис. 12). Эта наибольшая скорость равна
модулю градиента:
.
Свойство следует из того, что самая
большая проекция вектора
получится, когда проектирование осуществляется на направление самого (катет всегда меньше гипотенузы);
Рис. 12
3) градиент, построенный в точке P, перпендикулярен касательной к линии уровня функции u, проходящей через эту точку.
Уравнение
линии уровня функции u
= f(x,
y)
будет f(x,
y)
= C
[если у точки P
координаты (x0,
y0),
то ее принадлежность линии уровня
означает, что
].
Найдем угловой коэффициент касательной
к линии. Дифференцируем по x
неявно заданную уравнением
функцию y
= y(x):
– это угловой
коэффициент к касательной. Угловой
коэффициент прямой, идущей по градиенту
, будет
и
,
а это – условие перпендикулярности
прямых.
Таким образом, градиент направлен по нормали к линии уровня (рис. 13).
Рис. 13
В случае пространственного поля u = f(x, y, z) градиент – это вектор:
,
– орты осей. (1.38)
Свойства 1) и 2) сохраняются, а свойство 3) формулируется так: градиент направлен по нормали к поверхности уровня.