1.3.2. Внутренние и граничные точки

Определяются дословно так же, как в случае двух переменных, но теперь d-окрестность точки x₀, y₀, z₀ – это внутренность шара радиуса d с центром (x₀, y₀, z₀).

1.3.3. Поверхности уровня

Если задана функция u = f(x, y, z), то множество точек, в которых она принимает одно и то же значение C, – множество уровня (уровня C); обычно это поверхность уровня. Ее уравнение:

f(x, y, z) = C. (1.31)

Давая С различные значения, получаем семейство поверхностей уровня, дающее опреде-ленное представление о некоторых свойствах функции.

Пример. . Поверхности уровня , – это сферы радиуса

. При С = 0 сфера вырождается в точку – начало координат.

1.3.4. Функции любого числа переменных

Задано некоторое множество D “объектов” P, каждый из которых является каким-то набором из n чисел: P(x₁,…,x_n). Такие объекты трактуются как точки n-мерного пространства Rⁿ (R³ – обычное трехмерное пространство, R² – плоскость, R¹ = R – числовая ось). Вводится расстояние в Rⁿ между любыми двумя точками и :

.

Определяется d-окрестность точки P₀ – это множество всех точек P, для которых r(P, P₀) < d. После этого понятия внутренней или граничной точки множества D, открытой и замкнутой области описываются дословно так же, как в R² и R³.

Если каждой точке P из множества D, лежащего в Rⁿ, поставлено в соответствие по некоторому правилу число u: P ® u, то на множестве D задана функция точки P: u = f(P). Поскольку каждая точка определяется набором своих координат, то u = f(x₁,…x_n) – функция n независимых переменных. Множество D – область определения этой функции.

Пример. ; D – состоит из точек P, для которых сумма координат ³ 0.

1.3.5. Предел, непрерывность, частные производные для функции нескольких переменных

Предел, непрерывность, частные производные для функции нескольких переменных опреде-ляются так же, как в случае двух переменных. Так, если u = f(x, y, z), то – производная, получающаяся при дифференцировании u по x, когда y и z считаются постоянными. Правила дифференцирования сложной функции тоже сохраняются.

1.3.6. Касательная прямая и нормаль к графику неявной функции

Пусть линия L задана уравнением f(x, y) = 0, не решенным относительно y. Найдем y¢ для неявной функции, определяемой этим уравнением. Дифференцируем по x, помня, что y есть функция от x:

; .

Уравнение касательной прямой в точке :

; . (1.32)

Уравнение нормали:

. (1.32')

1.3.7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной неявным уравнением

Пусть уравнение поверхности будет f(x, y, z) = 0. Это уравнение определяет “столбик” z как неявную функцию от двух переменных x и y. Рассуждая как в предыдущем подразделе и отправляясь от уравнения касательной плоскости (1.14), найдем, что теперь касательная плоскость в точке будет иметь уравнение:

. (1.33)

Прямая, проведенная через точку M₀ нашей поверхности перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к поверхности и имеет уравнение:

. (1.33')