С овременная

Гуманитарная

Академия

Дистанционное образование

4326.06.01;РУ.01;1

Рабочий учебник

Фамилия, имя, отчество обучающегося __________________________________________________

Направление подготовки ______________________________________________________________

Номер контракта _____________________________________________________________________

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ (КУРС 8)

Юнита 6

Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных

МОСКВА 2012

Разработано Е.А. Кошелевой, канд. техн. наук, доц.

Под ред. В.Н. Варапаева, д-ра физ.-мат. наук, проф.

Рекомендовано Учебно-методическим советом в качестве учебного пособия для студентов СГА

КУРС: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Юнита 1. Элементы теории множеств и математической логики, функции.

Юнита 2. Предел и непрерывность функции одной переменной.

Юнита 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Юнита 4. Интегральное исчисление функций одной переменной.

Юнита 5. Множество точек и последовательностей в n-мерном пространстве.

Юнита 6. Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных.

Юнита 7. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Юнита 8. Ряды. Ряды Фурье.

Юнита 6

Изложены основные понятия и факты тем “Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных”, “Приложения дифференциального исчисления к вопросам геометрии”, “Интегральное исчисление функций нескольких переменных, заданных в плоской или пространственной области (кратные интегралы), а также функций, заданных на кривых и поверхностях”.

Рабочий учебник составлен на основе дидактических единиц учебников, имеющих гриф Министерства образования и науки Российской Федерации или Учебно-методического объединения:

1. Ильин, В. А. Высшая математика [ЭР] : учебник для ВУЗов / В. А. Ильин, А. В. Куркина. - М. : Проспект, 2008.

2. Кудрявцев, Л. Д. Краткий курс математического анализа [ЭР] / Л. Д. Кудрявцев. - М. : Физматлит, 2005. Т. 2.

3. Кудрявцев, Л. Д. Математический анализ [Текст] : в 3 т / Л. Д. Кудрявцев. - М. : Дрофа, Т. 1, 2004. Т. 2, 2004, Т. 3, 2006.

Для студентов Современной Гуманитарной Академии

_____________________________________________________________________________________

© СОВРЕМЕННАЯ ГУМАНИТАРНАЯ АКАДЕМИЯ, 2012

(настоящее учебное пособие не может быть полностью или частично воспроизведено, тиражировано

и распространено в качестве официального издания без разрешения руководства СГА)

Соответствие системы менеджмента качества СГА в сфере создания информационных образовательных ресурсов требованиям международного стандарта ISO 9001:2000 (ГОСТ Р ИСО 9001-2001) подтверждено Сертификатом соответствия Стандарт-тест

Оглавление

Стр.

ДИДАКТИЧЕСКИЙ ПЛАН 6

ЛИТЕРАТУРА* 7

ПЕРЕЧЕНЬ КОМПЕТЕНЦИЙ 8

Тематический обзор 11

1. Функции нескольких переменных. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 11

1.1. Функции двух переменных, непрерывность 11

1.1.1. Функции двух переменных 11

1.1.2. Области на плоскости 11

1.1.3. Геометрическое изображение функции двух переменных 12

1.1.4. Линии уровня 13

1.1.5. Предел и непрерывность функции двух переменных 14

1.1.6. Свойства непрерывных функций 14

1.1.7. Приращения независимых переменных и приращение функции 15

1.2. Дифференциальное исчисление функций двух переменных 15

1.2.1. Частные производные 15

1.2.2. Геометрический смысл частных производных 16

1.2.3. Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) 17

1.2.4. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал 17

1.2.5. Геометрический смысл полного дифференциала 19

1.2.6. Дифференцирование сложной функции 20

1.2.7. Инвариантность формы записи дифференциала 20

1.2.8. Производные высших порядков 21

1.2.9. Экстремумы функций двух переменных 22

1.2.10. Необходимый признак экстремума 22

1.2.11. Достаточный признак экстремума 23

1.2.12. Наибольшее и наименьшее значения в области 23

1.3. Функции трех и более переменных. Скалярное поле 24

1.3.1. Функция трех переменных 24

1.3.2. Внутренние и граничные точки 24

1.3.3. Поверхности уровня 24

1.3.4. Функции любого числа переменных 25

1.3.5. Предел, непрерывность, частные производные для функции нескольких переменных 25

1.3.6. Касательная прямая и нормаль к графику неявной функции 25

1.3.7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, заданной неявным уравнением 26

1.3.8. Скалярное поле 26

1.3.9. Производная по направлению 26

1.3.10. Градиент скалярного поля 28

2. Дополнительные вопросы приложений дифференциального исчисления к геометрии 30

2.1. Плоские кривые. Кривизна 30

2.1.1. Дифференциал длины дуги 30

2.1.2. Кривизна плоской линии 31

2.1.3. Радиус кривизны. Круг и центр кривизны 33

2.2. Пространственные кривые 33

2.2.1. Векторное уравнение пространственной кривой 33

2.2.2. Касательная к пространственной кривой 35

2.2.3. Нормальная плоскость 36

2.2.4. Дифференциал длины дуги 36

2.2.5. Натуральные уравнения кривой. Главная нормаль 37

2.2.6. Кривизна пространственной кривой 37

2.2.7. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение 39

2.2.8. Скорость и ускорение точки, движущейся по кривой 39

2.2.9. О касательной плоскости к поверхности 40

3. Кратные и криволинейные интегралы 41

3.1. Определение кратного интеграла, условие существования и свойства кратного интеграла 41

3.2. Сведение кратного интеграла к повторному 44

3.3. Замена переменных в кратном интеграле 48

3.4. Площадь поверхности 51

3.5. Определение криволинейного интеграла, его свойства 52

3.6. Формула Грина 54

3.7. Определение поверхностного интеграла, его свойства 55

3.8. Формула Стокса 57

3.9. Формула Остроградского–Гаусса 59

3.10. Соленоидальные и потенциальные векторные поля 60

3.11. Геометрические и физические приложения кратных, криволинейных и поверхностных интегралов 63

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 65

ТРЕНИНГ КОМПЕТЕНЦИЙ 72

ГЛОССАРИЙ 86