2. Определенный интеграл

2.1. Определение определенного интеграла, условия его существования. Свойства определенного интеграла

2.1.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Начнем с задач, решение которых приводит к необходимости ввести понятие определенного интеграла.

Задача о вычислении массы неоднородного стержня

Пусть неоднородный стержень конечной длины занимает положение отрезка [a, b] оси x и линейная плотность распределения масс вдоль стержня есть непрерывная функция (x). (Под линейной плотностью (x) понимают , где x – длина отрезка, содержащего точку x, m – масса этого отрезка.) Плотность однородного стержня постоянна и его масса равна произведению плотности на длину стержня. В случае неоднородного стержня сначала будем искать приближенное значение его массы. Для этого:

1) разобьем отрезок [a, b] на n частей точками

;

2) при достаточно мелком разбиении можно считать, что на каждом отрезке плотность почти постоянна и приближенно равна ее значению в некоторой точке этого отрезка: для любых точек ;

3) масса части стержня будет тогда приближенно равна , где , а масса m всего стержня будет приближенно равна :

;

4) значение массы стержня будет тем точнее, чем мельче будет разбиение, то есть чем меньше будет и чем удачнее будут выбраны точки на каждой части . Поэтому для получения точного значения массы стержня естественно перейти к пределу при стремлении к 0 :

.

Задача о вычислении работы переменной силы

Пусть материальная точка единичной массы перемещается из точки a в точку b отрезка [a, b] оси x под воздействием силы , направленной вдоль оси x и имеющей переменную величину . Требуется найти работу A этой силы. В случае постоянной силы работа равна произведению величины силы на длину пути перемещения. В случае переменной силы найдем сначала приближенное значение работы A. Для этого:

1) разобьем отрезок [a, b] произвольно на n частей точками ;

2) при достаточно мелком разбиении можно считать, что на каждом отрезке величина силы f(x) почти постоянна и приближенно равна ее значению в некоторой точке : для любых точек ;

3) работа силы на каждом отрезке тогда будет приближенно равна , где , а работа силы по перемещению массы вдоль всего отрезка [a, b] будет приближенно равна :

;

4) значение работы A будет тем точнее, чем мельче будет разбиение, то есть чем меньше будет и чем удачнее будут выбраны точки на каждом отрезке . Поэтому для получения точного значения работы переменной силы на всем отрезке [a, b] естественно перейти к пределу при :

.

Как видим, алгоритм нахождения искомой величины в этих задачах общий. Можно привести немало других конкретных задач, при решении которых используется тот же алгоритм. Это привело к необходимости ввести новое понятие – понятие определенного интеграла от функции одной переменной.

2.1.2. Определение определенного интеграла Римана

Пусть на отрезке [a, b] оси x определена функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] произвольным образом на n частей точками . На каждом отрезке длины выберем произвольную точку . Составим сумму , называемую интегральной суммой Римана для функции f(x) на отрезке [a, b]. Определенным интегралом Римана от функции f(x) на отрезке [a, b] называется число, обозначаемое символом и равное пределу интегральных сумм при стремлении к нулю максимальной из длин отрезков разбиения

, (2.1)

если этот предел существует, конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на части и выбора точек на отрезках . Число a называется нижним пределом интегрирования, число b – верхним пределом интегрирования. Функция f(x), для которой существует определенный интеграл , называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Под пределом интегральных сумм в правой части равенства (2.1) понимается число J, удовлетво-ряющее условию: для любого (сколь угодно малого) положительного числа  найдется такое поло-жительное число , что при и любом выборе точек выполняется неравенство

.

Дополнение к определению определенного интеграла

Выше, вводя определенный интеграл, мы полагали a < b. Положим по определению:

1) ,

2)

для любых a и b (при перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак).

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Положим на каждом отрезке

,

и пусть – точки, в которых , так что для любого выполняются неравенства . Суммы и называются, соответственно, нижними и верхними интегральными суммами. Очевидно, при одном и том же разбиении отрезка [a, b] всякая интегральная сумма не меньше нижней и не больше верхней интегральных сумм:

.

Отсюда следует, что для существования определенного интеграла необходимо и достаточно, чтобы существовал общий конечный предел нижних и верхних интегральных сумм при стремлении к 0. Можно доказать, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то определенный интеграл существует. Другими словами: всякая непрерывная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке. Интегрируемыми являются также кусочно непрерывные функции, то есть функции, имеющие на отрезке лишь конечное число точек разрыва 1-го рода. Можно также доказать, что всякая интегрируемая на отрезке функция ограничена на этом отрезке.