1. Неопределенный интеграл
1.1. Определение неопределенного интеграла, его свойства; таблица интегралов от основных элементарных функций
В этой главе будет рассматриваться задача, обратная задаче нахождения производной функции, а именно, задача восстановления функции по ее производной.
1.1.1. Понятие неопределенного интеграла
Функция F(x)
называется первообразной
функции f(x)
на промежутке
(a;
b),
если она дифференцируема на этом
интервале и в каждой его точке
.
Например, первообразными
функции
являются функции
и
,
так как
и
.
Заметим, что вообще,
если F(x)
первообразная f(x),
то F(x)
+ C,
где C
– произвольная постоянная, также
является первообразной f(x),
так как
.
Таким образом, по производной функция
восстанавливается неоднозначно.
Убедимся, что всякая
первообразная функции f(x)
содержится в множестве функций F(x)
+ C
при некотором значении C.
Действительно, пусть
– какая-нибудь отличная от F(x)
первообразная функции f(x).
Положим
.
Тогда
.
Согласно известному
из дифференциального исчисления условию
постоянства функции получаем, что
или
,
где C1
– константа, равная, например,
.
Следовательно,
и
принадлежит совокупности первообразных
F(x)
+ C
при C
= C1.
Определение.
Совокупность всех первообразных функции
f(x)
называется неопределенным
интегралом от функции
f(x).
Он обозначается символом
.
При этом функцию f(x)
называют подынтегральной функцией,
выражение
– подынтегральным выражением, знак
–
знаком интеграла.
Из определения и изложенного выше следует, что если F(x) – какая-нибудь первообразная функции f(x), то
,
(1.1)
где C – произвольная постоянная. Нахождение неопределенного интеграла называется интегрированием функции f(x).
Отметим, что всякая непрерывная функция имеет в области непрерывности первообразную.
1.1.2. Основные свойства неопределенного интеграла
1. Так как операция интегрирования есть операция, обратная дифференцированию, то справедливы равенства:
;
;
;
.
Справедливость следующих равенств легко установить дифференцированием их левых и правых частей.
2.
.
3.
,
где k – постоянный множитель, отличный от нуля.
Всякая формула дифференцирования, прочитанная справа налево, порождает формулу интегрирования.
1.1.3. Таблица основных интегралов
Каждое из приведенных ниже равенств рассматривается в области, где подынтегральная функция и ее первообразная непрерывны. В правых частях этих равенств C – произвольная постоянная.
Из таблиц производных следуют формулы:
I.
.
II.
,
.
III.
.
IV.
.
V.
.
VI.
.
VII.
.
VIII.
.
IX.
.
X.
.
Следующие две формулы нетрудно проверить дифференцированием.
XI.
.
XII.
,
.
Рассмотренные свойства и таблица интегралов позволяют уже находить интегралы от простейших функций.
Пример.
Найти
.
Решение. Воспользуемся свойствами 2 и 3 и табличным интегралом (II). Получим
.
Заметим, что результат дифференцирования элементарных функций является снова элемен-тарной функцией, тогда как операция интегрирования элементарных функций может привести к новым функциям, которые не могут быть представлены в виде суперпозиций элементарных функций. Например, доказано, что следующие интегралы существуют, но не выражаются через элементарные функции:
– интеграл Пуассона,
– интегралы Френеля,
– интегральный
логарифм,
– интегральный
синус,
– интегральный
косинус.
Перейдем к рассмотрению основных методов интегрирования.